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| 铜期货定价模式比较研究 |
| 第678期 作者：□文/冼佩君 时间：2022/4/2 9:26:09 浏览：350次 |
［提要］ 本文以上海期货交易所铜期货为例，运用Vasicek模型与CIR模型对其进行定价比较。首先使用历史数据分别对两模型的参数进行估计，然后利用期货定价公式对未来22个交易日的期货价格进行预测。结果表明：在短期价格预测方面，Vasicek模型比CIR模型要好。
关键词：期货定价；Vasicek模型；CIR模型；铜期货
中图分类号：FO212.1；F83；F724.5 文献标识码：A
收录日期：2021年10月8日
随着我国经济发展，期货作为一个新的投资工具越来越受到人们的关注，因此对期货的价格研究有着非常重要的现实意义，期货价格的形成以及对未来期货价格的预测成为一个重要的研究方向，学者们对其进行了广泛而深度的研究。Cheng Yong Tang和Song Xi Chen研究了用于建立包括利率在内的金融证券动态模型的连续时间扩散过程的参数估计问题。张锦、马晔华提到了期货价格过程服从Vasicek模型形式的随机微分方程，并对沪深300股指期货定价进行了实证研究。贺凯研究了期货价格满足Vasicek随机模型，并通过模型的显示解得到未来每个时刻期货价格的期望值。林建华、王福昌、冯敬海建立了股价波动的指数OU过程模型。吴冲锋、王海成、吴文峰应用简单回归方法，利用我国数据对模型进行了参数估计。谢赤、吴雄伟引进广义矩估计法对Vasicek和CIR模型进行参数估计，得出的结果是Vasicek模型较CIR模型能更好地解释中国货币市场利率行为特点。潘冠中、邵斌指出在对利率模型进行适当的离散化后，运用极大似然估计方法进行参数估计优于广义矩估计法。本文运用Vasicek模型和CIR模型对铜期货进行研究。
一、模型与参数估计
（一）Vasicek模型。Vasicek模型是指状态变量Xt满足以下随机微分方程：
dXt=κ（α-Xt）dt+σdWt
其中，κ、α、σ皆为常数。它又被称为OU过程，是由物理学家Ornstein和Uhlenbeck于1930年提出的，在1977年被Vasicek应用在金融中描述瞬时利率的动态变化。
为了进行参数估计，需导出Xt的转移密度函数。根据文献给出的方法，首先需要对Xt做一个变换，令Yt=eκtXt，然后对Yt运用伊藤引理，可以得到：
dYt≡d（eκtXt）=καeκtdt+σeκtdWt （1）
对（1）式两边同时进行积分并整理后可以得到Xt的解：
Xt=α+（x0-α）e-κt+σ■e-κ（t-u）dWu （2）
因为伊藤积分是鞅，且■e-κ（t-u）dWu可以看成是很多正态分布的和，所以Xt服从正态分布Nα+（x0-α）e-κt，■。利用同样的推导过程可以得到，在Xt＝xt的条件下，Xt+τ（τ＞0）的分布为N（μτ，στ2），其中μτ＝α+（Xt-α）e-κt，στ2＝■。因此，Xt的转移密度函数为：
p（Xt+τ|Xt）=■exp-■
于是就可以很方便地使用MLE来估计Vasicek模型的参数。
极大似然（ML）估计量，记作■ML，是指使得似然函数的值达到最大的估计量，它等价于选择θ值使得对数似然函数L（θ）达到最大，■ML≡arg■L（θ）。有的时候初始密度函数p0（X0；θ）会使计算变得非常复杂，因此可以不需要设定p0（X0；θ），直接就使对数条件似然函数L（θ）达到最大来得到θ的估计值，这样得到的■CML被称为条件极大似然估计值。
■CML≡arg■L（θ）＝-■ln（2π）-■lnσ△2-■■
在一定的正则条件下，■ML与■CML均为θ的相合估计，并且它们具有相同的渐近正态分布。根据文献解得参数θ=（α，κ，σ2）的ML估计量■（■，■，■2），其中：■＝■2，■＝-■，■2＝■，■1＝■，■2＝■，■3＝■。
（二）CIR模型。Cox、Ingersoll和Ross在一般均衡的框架下导出瞬时利率满足以下随机微分方程，因此金融文献中往往也把它称为CIR模型。
dXt=κ（α-Xt）dt+σ■dWt
与Vasicek模型类似，当κ＞0时，CIR模型同样具有均值回复性质。而与Vasicek模型不同的是，CIR模型是一个取值非负的随机过程，0是它的反射边界。根据文献给出的方法，可以得到CIR模型的转移密度函数：
p（Xt+τ|Xt）=ce-u-v■■Iq［2（cuXt+τ）1/2］
其中，c=■，u=cXte-κτ，q=■-1，Iq（·）为q阶第一类贝塞尔函数Iq（y）≡■■■■，Γ（y）=■uye-udu。p（Xt+τ|Xt）是一非中心的卡方分布，χ2［2cXt+τ；2q+2，2u］。根据其分布的性质，在已知X0的情况下，Xt的条件均值为：
E［Xt|X0］=α（1－e-κt）+e-κtX0 （3）
需要特别指出的是，CIR模型的转移密度函数中包含有第一类贝塞尔函数Iq（·），导致θ=（α，κ，σ2）的极大似然估计的解析式无法从它的对数似然方程得到。文献考虑由Nowman提出的利用拟极大似然估计的方法来估计CIR模型，这样就可以避免近似计算贝塞尔函数。记：
μ△＝E［Xt△|X（t-1）△］＝α（1-e-κ△）+e-κ△X（t-1）△
σ△2＝Var［Xt△|X（t-1）△］＝■（1-e-κ△）2+■（e-κ△-e-2κ△）X（t-1）△
其中，θ=（α，κ，σ2）就是将要估计的参数向量。以μ△为均值、σ△2为方差的正态分布密度函数为p（Xt△|X（t-1）△）＝■exp-■。以正态分布密度函数替代真实的密度函数，可以写出拟对数似然函数：
L（θ）=■lnp（Xt△，|X（t-1）△；θ）＝-■ln（2π）-■lnσ△2-■■
拟极大似然（QML）估计量，记作■QML，是指使得拟对数似然函数L（θ）达到最大的估计量，即■QML≡arg■L（θ）。在一定的正则条件下，QML估计量■QML具有相合性与渐进正态性。根据文献解得参数θ的QML估计量（■，■，■2），其中：
■＝■2，■＝-■，■2=■
■1＝■
■2＝■
■3＝■
二、实证分析
（一）铜期货发展状况。目前，开展铜期货交易的交易所主要有伦敦金属交易所（LME）、上海期货交易所（SHFE）、CME集团下属的纽约商品交易所（COMEX）和印度多种商品交易所（MCX）。2020年，我国铜期货成交量5，716.42万手，同比增长56.53%，成交金额14.13万亿元，同比增长61.99%；年末持仓量31.48万手，与2019年年末持仓量持平。其中，成交量最高为12月的709.44万手，最低为1月的225.76万手；月末持仓最大的为2月的36.89万手，最小的为1月的27.10万手。
2020年，铜期货总交割量95，225手，折合47.61万吨，同比增长24.00%，交割金额219.60亿元，同比增长18.66%。其中，3月交割量最大，为22，825手（折合11.41万吨）；11月交割量最低，为1，440手（折合0.72万吨）。
从2020年5月初到2021年4月底近一年的数据分析来看，上海铜期货价格与国内铜现货价格保持高度一致，相关系数为0.999，价格联动高度紧密。经过多年稳健发展，上海期货交易所铜期货价格作为国内现货市场的基准定价的地位日益巩固。上海铜期货价格与国际铜价走势一致，与LME连续价格相关度为0.993，国际市场和国内市场价格相互引导。
（二）数据的选取。通常情况下，商品期货流通量大，基本上参与者大都是价格的接受者，接近于完全竞争市场，有利于利用数据对价格进行预测。在期货交易软件上，时间分为月、周、日、钟。对于选取数据而言，太短的周期具有比较强的突发性，不适合作为被选对象；而周期太长则会忽略掉很多中间的突变因素，同样也不适合作为被选对象。文章选择周期较为适中的日数据，以上海期货交易所的铜期货作为研究对象，主要包括以下品种：cu2109、cu2111、cu2201，由于篇幅有限其余品种暂不做研究。文章选取了上述3个品种的铜期货自上市日至2021年8月31日期间的每日结算价作为对应期货资产的市场价格，其中cu2109、cu2111、cu2201分别有233、195、152个数据。在上述数据中，采用其上市日至2021年07月31日的数据来校准定价模型和进行相关参数估计。
（三）实证结果。在Vasicek模型中，上文（2）式已经得到Xt的解，Xt=α+（x0-α）e-κt+σ■e-κ（t-u）dWu，则有Xt的估计：
■t1=■1+（X0-■1）+e■+■1■e■dWu
而CIR模型由于没有具体可行的显式解，则以（3）式E［Xt|X0］作为Xt的估计，即：
■t2=■2（1-e■）+e■X0
两模型具体数据的参数估计结果，如表1所示。（表1）
采用2021年8月1日至2021年8月31日的数据来比较模型定价精确率和误差，文章对上述两种模型的定价效率采用预测精度比较中的相对误差和平均相对误差绝对值作为衡量指标。相对误差是指预测值与真实值的差值在真实值中的占比，表示为■，其中■t为预测值，Xt为真实值。平均相对误差绝对值则是将相对误差取绝对值后再求其平均值的指标，表示为■■■。为了方便陈述，在下文中将利用Vasicek模型预测所得到的价格称为Vasicek价格，而利用CIR模型预测所得到的价格称为CIR价格。由于文章篇幅有限，仅展示8月第1、第6、第11、第16、第21个交易日的定价比较结果。
从表2可以看到，在5个不同的日期中，针对3个不同品种的铜期货cu2109、cu2111、cu2201利用Vasicek模型和CIR模型定价后，通过比较相对误差的数值能够发现Vasicek模型的定价相对误差基本优于CIR模型的定价误差，在此可初步判断，对于铜期货而言Vasicek模型的定价效率相对较优。（表2）
紧接着根据预测的8月22个交易日的平均相对误差绝对值来对比两模型的定价效率。从表3整体来看，Vasicek模型的定价误差皆小于CIR模型的定价误差，利用Vasicek模型对铜期货进行定价更吻合市场实际情况。（表3）
三、结论
结合前文可以得出以下结论：（1）对于铜期货的价格预测，无论是从相对误差角度还是从平均相对误差绝对值角度出发，Vasicek模型的定价效率都要稍优于CIR模型；（2）无论是Vasicek模型还是CIR模型，它们对铜期货的价格预测都呈现出稍高估的现象，即从未来22个交易日的预测情况来看，两模型的预测价格皆比铜期货的真实价格要稍高；（3）虽CIR模型的预测效果不如Vasicek模型的好，但我们可以看到CIR模型的预测误差也在可接受的范围内，不过CIR模型的参数估计相对复杂，故对铜期货的价格预测还是建议采用Vasicek模型。至此，铜期货市场的各方参与者都可以充分利用铜期货市场的价格信号作用，把铜期货价格作为未来铜现货价格的重要参考指标，来实施具体的生产计划、储存、贸易活动以及消费决策或者实现经营业绩和经济效益。
（作者单位：广州大学经济与统计学院）
主要参考文献：
［1］Cheng Yong Tang，Song Xi Chen.Parameter Estimation and Bias Correction for Diffusion Processes［J］.Journal of Econometrics，2008.149（01）.
［2］张锦，马晔华.沪深300股指期货定价实证研究［J］.财贸研究，2008.19（06）.
［3］贺凯.基于Vasicek期货随机模型的期望值与模拟［J］.现代经济信息，2011（04）.
［4］林建华，王福昌，冯敬海.股价波动的指数O-U过程模型［J］.经济数学，2000（04）.
［5］吴冲锋，王海成，吴文峰.金融工程研究［M］.上海交通大学出版社，2000.
［6］谢赤，吴雄伟.基于Vasicek和CIR模型中的中国货币市场利率行为实证分析［J］.中国管理科学，2002（03）.
［7］潘冠中，邵斌.单因子利率模型的极大似然估计——对中国利率的实证分析［J］.财经研究，2004（10）.
［8］Vasicek Oldrich.An Equilibrium Characterization of the Term Structure［J］.Journal of Financial Economics，1977.05（02）.
［9］姜近勇，潘冠中.金融计量学［M］.中国财政经济出版社，2011.
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