［提要］　本文使用日内高频数据对PGARCH模型进行估计：根据日内高频数据构造的波动率代表，探究PGARCH波动率模型的拟极大似然估计（QMLE）及其渐近分布。模拟研究和实证分析表明：基于高频数据的QMLE可以减小参数估计的方差，有效地提高估计效率。

关键词：PGARCH；QMLE；渐近正态性；高频数据

中图分类号：F83 文献标识码：A

收录日期：2023年3月24日

引言

波动率作为衡量标的资产价格波动程度的指标，是金融学中的重要概念。准确衡量和预测波动率的大小一直是金融市场的一个热点问题。在传统经济学中，期权定价理论假设了波动率是一个常数，Engle（1982）提出的自回归条件异方差（ARCH）模型则打破了该假设。在此基础上，为了解决ARCH模型参数限制多和估计困难的问题，Bollerslev（1986）提出了广义自回归条件方差（GARCH）模型。此后，越来越多的GARCH族模型广泛应用于风险管理、资产配置和投资策略等方面。例如，毛春元和余家华（2013）基于TGARCH模型对中国石油天然气集团公司股票收益率进行了风险度量。Coenraad和Sven（2017）将GJR-GARCH模型和EGARCH模型应用于南非TOP40指数的期权定价。Nugroho（2019）应用GARCH-M模型对道琼工业指数的时变波动率进行了建模。本文中讨论的PGARCH模型，既是对GARCH模型在幂次项上的变形，也是由Hwang（2004）提出的PTGARCH（1，1）模型的一种特殊情况。PGARCH模型增加了波动率的幂次项是一个待估参数的设定，具体模型如下：

rn＝σnzn （1）

σ2δn＝ω＋αr2δn－1+βσ2δn－1 （2）

其中，待估参数δ＞0，ω＞0，α＞0，β＞0。 rn表示某标的资产第n天的日收益率。σn表示第n天的波动率，用于衡量资产波动大小，是一个非负的不可观测的变量。｛zn｝是一组期望为0、方差为1的独立同分布的随机序列，且zn独立于σs（s＜n）。

随着互联网技术的快速发展，高频数据在金融业和其他领域有着广泛的应用。为了提高参数估计精度，Visser（2011）利用高频数据来研究基于波动率代表的GARCH模型的拟极大似然估计（QMLE），这为如何使用日内高频数据对波动率建模提供了新途径。Fan（2017）将日内数据植入周期GARCH模型用于季节性波动研究和建模。Podobnik（2004）使用一分钟频率的高频数据来对ARCH-GARCH模型建模。基于上述研究，本文将运用高频数据来构造波动率代表从而对PGARCH模型进行QMLE估计，同时探究参数估计的精度是否有所提升。

一、PGARCH模型分析

（一）尺度模型。日频的PGARCH模型是一个离散的随机模型，记录了每日的波动率和收益率数据。为了植入高频数据，需要建立一个连续的日内收益过程，参考Visser（2011）构建尺度模型：首先将交易日的交易时间单位化到区间［0，1］上，u记为交易时间，u∈［0，1］；接着把模型（1）中的离散日收益过程拓展为连续的日内收益过程Rn（u），记录每天的日内收益率；从模型（1）、模型（2），得到以下尺度模型：

Rn（u）＝σnZn（u），0≤u≤1 （3）

σ2δn＝ω＋αr2δn－1+βσ2δn－1 （4）

可以看出，整合了高频信息的尺度模型（3）～（4）保留了日频PGARCH模型（1）～（2）相似的结构形式，并且当u=1，Rn（1）=rn，Zn（1）=zn，尺度模型即转化为了日频模型（1）～（2）。Zn（u）依然是期望为0的、方差为1的独立同分布的随机变量，并独立于σs（s＜n）。

（二）波动率代表。为了更好地估计参数，需要进一步加工日内高频数据。一种可行的方法是引入波动率代表。波动率代表是关于日内高频数据的一元函数，常见的波动率代表有已实现波动率和日内价格极差。一般来说，波动率代表是非负的且满足正齐性，即存在非零常数α和日内收益率Rn（u）满足：

H（αRn（u））＝αH（Rn（u）），α＞0 （5）

考虑到每个交易日的波动率是唯一确定的，可以视为常数，则由波动率代表的正齐性及尺度模型（3）和模型（4）得：

Hn=H（Rn（u））=H（σnZn（u））＝σnH（Zn（u））　（6）

设μ=■，将其带入式（6）得：

Hn＝σnH（Zn（u））=σn×μ■=σ*nZ*n （7）

那么，整合了高频信息的波动率代表模型可以写为：

Hn＝σ*nZ*n （8）

σ■■＝ω*+α*r■■+β*σ■■　（9）

其中，μ＞0，Z*n是经过标准化的独立同分布的随机序列， E（Z*2n）=1。比较模型（1）～（2）和模型 （8）～（9），二者有着相似的结构形式。前者恰好是后者的一个特例，当Hn=|rn|时，模型（8）～（9）可以写成模型（1）～（2）的形式。前者的待估参数为θ＝（δ，ω，α，β）′，后者的待估参数为θ*＝（δ*，ω*，α*，β*）′ ，二者之间有以下数量关系：

ω*＝ωμ2δ，α*=αμ2δ，β*=β，δ*=δ　（10）

二、参数估计

（一）拟极大似然估计。在进行模型（8）～（9）的估计前，记其参数真值为θ*0＝（δ*0，ω*0，α*0，β*0）′ 。参考Pan（2008）和Visser（2011），对模型（8）～（9）采用拟极大似然估计，得到的拟条件对数似然函数及估计量（QLME）分别如下：

LN＝■ln（θ*）=■-■log（σ*2n（θ*））＋■　（11）

■*＝arg maxLn（θ*）　（12）

根据Pan（2008），为了证明QMLE估计具有一致性和渐近正态性，需要做出以下基本假设：

   1、Z*n服从非退化的对称分布，且存在某些△＞0使得E|Zn|△

＜+∞和对于任何的μ＞0有■n-μP｛Z*2n≤n｝。

2、参数空间Θ是R4上的紧凑子集，θ*是Θ的内点。对于所有的θ*∈Θ，都有李雅普诺夫指数γ（θ*）＜0。

3、E（Z*2n）=1，且EZ*4n＜∞。

由此可得■*的渐近分布：

■（■*0-θ*0）■N（0，∑*），N→∞　（13）

其中，∑*=A-10B0A-10，且矩阵A0和B0内的元素如下所示：

（A0）i，j＝E（■）　（14）

（B0）i，j＝E（■■）　（15）

进一步计算似然函数对待估参数的一阶偏导和二阶偏导：

 　　■＝■=■■-■■　（16）

■＝■=■■■+■（■）　（17）

由于Z*n与σ*n独立，E（Z*2n）=1，结合式（8），矩阵A0和B0内的元素为：

（A0）i，j＝E（■）＝E（■■■）　（18）

（B0）i，,j＝E［■■］＝Var（Z*2n）E（■■■）　（19）

从而，渐近方差阵∑*＝A-10B0A-10=Var（Z*2n）G（θ*0）－1。计算矩阵G－1中需要的参数偏导：

σ■■＝ω*+α*r■■+β*σ■■=■+α*■β*i-1r■■　（20）

■＝e■［-■+■］，■=■　（21）

■＝■，

■＝■　（22）

上式中，Cn=■+α*■β■r■■，kn=α*■β■r■■lnr2n-i。

记参数■*=（■*，■*，■*，■*）′的渐近方差为（σ*2δ，σ*2ω，σ*2α，σ*2β，）′，那么模型（3）～（4）的参数■=（■，■，■，■）′的渐近分布分别为：■（■-δ0）■（0，σ*2δ），■（■-ω0）■（0，■），■（■-α0）■（0，■），■（■-β0）■（0，σ*2β）。

（二）日频参数θ＝（δ，ω，α，β）′的估计。由QMLE方法估计得到PGARCH模型参数的估计值■*=（■*，■*，■*，■*）′，结合公式（10），即可得到θ的估计。此时，需要计算μ。由等式σ*n＝σnμ可得μ的一个估计量：

■＝■■■*n/■n （23）

其中，■*n表示经高频数据估算得到的波动率估计值，■n表示Hn=|rn|时得到的波动率估计值。

使用不同的波动率代表，估计得到的参数精度是有所差异的。针对这种情况，Visser（2011）提供了一个估计效率的判别策略：估计方法的好坏由模型的残差项Z*2n决定，当残差项方差越小，参数估计的方差也越小，估计越有效。而Z*2n方差大小与MH值的大小成正比关系。

Var（Z*2n）＝E（Z*2n-E（Z*2n））2

=E（Z*4n）-1=■-1 （24）

考虑到σ*n和Z*n的独立性，则有：

E（Hn）＝E（σnH（Zn（u）））＝E（σn）E（H（Zn（u）））　（25）

显然，c=E（σ4n）/［E（σ2n）］2是一个常数，当我们通过乘以常数c并省略1来变换方差方程（24）时，我们可以如下导出MH统计量：

MH＝■　（26）

由于式（24）和式（26）成正比关系，寻找参数的渐近方差最小的问题就就转换为最小的统计量MH问题。此时，MH值越小，估计精度越高，估计越有效。

三、模拟研究

在本节中，通过模拟研究来检验该方法的实用性：首先对PGARCH模型进行建模，接着对该模型采用QMLE估计，最后将估计得到的参数结果分别从偏差（Bias）、标准差（SD）和MH统计量的均值（Mean.MH）的角度来评估QMLE估计的效果。上述实验重复1，000次。为了达到模拟的效果，需要模拟日内的标准化随机过程Zn（u），这里使用平稳的Ornstein-Uhlenbeck过程建模：

dΓn（u）＝-φ（Γn（u）-uΓ）du+σΓdB（2）n（u）　（27）

dZn（u）＝-exp（Γn（u））dB（1）n（u），u∈［0，1］　（28）

其中，φ＝■，σr＝■，μr=-■。两个布朗运动B（2）n和B（1）n是不相关的。Zn（0）=0，Γn（0）从平稳分布N（μr，σ2T）中随机产生。u∈［0，1］，日内的交易时间［0，1］被划分为等份的240个区间，每个等分区间对应交易日的1分钟频率交易数据，每5个等分区间对应交易日的5分钟频率的交易数据。以此类推，得到离散化的日内标准过程Zn（u）。进一步的，方程（4）中的参数真值设为θ0=（0.8，0.2，0.3，0.55）′。接着考虑不同频率的波动率代表，本文选择了频率为5分钟、10分钟、15五分钟、30分钟的已实现波动率和日收益率的波动率代表，分别记为RV5、RV10、RV15、RV30、|rn|。以十分钟的已实现波动率为例，其计算公式为：

Hn＝RV10=［■（Rn（ui×10）-Rn（u（i-1）×10））］■　（29）

其中，设置初值Rn（0）＝0，日频的PGARCH模型则对应波动率代表Hn=|rn|。在模拟中，样本量分别设置为500天、1，000天和1，500天。于是在一次模拟中MH的估计值如下：

■＝（■■H4n）/（■■H2n）2=N■H4n/（■H2n）2 （30）

模拟结果展示在表1。从表1可以看出，在同一样本量下，与|rn|相比，通过高频的波动率代表RV估计得到的参数偏差和标准差明显变小，但采用不同的高频RV估计得到的参数偏差和标准差差异不大，无明显变化规律。比较不同的Mean.MH，通过RV计算的Mean.MH值也都比|rn|小。而随着样本量的增大，相同高频的RV估计的参数偏差和标准差也逐渐减小，这符合一致性和渐近正态性的性质，MH均值的减小也说明随着样本量的增加估计精度提高。表1中，样本量N=500时，Mean.MH最小值出现在RV10的情况下，这说明此时的估计最有效。表1中样本量N=1000时，Mean.MH最小值出现在RV5的情况下，这说明此时的估计最有效。参数估计的标准差最小时，与之对应的Mean.MH值也最小，说明上一节讨论的最优波动率代表评判标准是合理的。综合来看，引入的高频信息并不是越多估计效果越好，但引入了高频信息的已实现波动率（RV）比日频信息的|rn|的估计效果好，高频数据的使用使得PGARCH模型的估计精度有所提高。（表1）

四、实证分析

在本节中，将上述方法应用到实例，数据源是2008年4月28日到 2013年6月23日的沪深300指数。数据包含1分钟间隔的收盘价格信息，每天共241个观测值，一共包含1，272个交易日。记价格序列｛Pn（u），u∈［0，1］，n=1，2，…，1272｝，定义第n天u时刻的日内对数收益率为：

Rn（u）＝［logPn（u）-logPn-1（u）］×100 （31）

应用QMLE方法，采用不同频率的已实现波动率对PGARCH的估计结果如表2所示。表2展示了由不同频率的RV和|rn|估计得到的参数值和残差项方差。由表2可知，残差项方差最小的结果是基于RV15的结果。根据表2，对比基于|rn|和基于RV15的拟合得到的PGARCH模型。（表2）

波动率代表为日收益率|rn|时，拟合的PGARCH模型为：

σ3.4565n＝0.0522+0.0157r3.4565n-1+0.9433σ3.4565n-1 （32）

波动率代表为15分钟收益率时，拟合的PGARCH模型为：

σ3.127n＝0.0558+0.0522r3.127n-1+0.8905σ3.127n-1 （33）

图1刻画了基于|rn|估计的波动率和基于RV15估算的波动率代表的时序图。可以看出，二者的走势相同，整体上15分钟的波动率比日频的波动率更小，但在峰值二者相差不大。这说明涵盖了高频信息的波动率既能敏锐地捕捉波动率的急剧变化，也能稳定地刻画出波动率相对平缓时期的特征。（图1）

结语

在本文中，我们通过波动率代表将高频数据嵌入日频的PGARCH模型，并对模型进行QMLE估计，给出估计参数的渐近分布。模拟研究和实证分析证明，引入高频信息有助于提高PGARCH模型的估计精度。

（作者单位：广州大学经济与统计学院）

主要参考文献：

［1］Robert F.Engle.Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation［J］.Econometrica，1982.50（04）.

［2］Bollerslev Tim.Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity［J］.Journal of Econometrics，1986.31（03）.

［3］Chunyuan Mao，Jiahua Yu.Empirical Analysis on CNPC Stock Risk Measurement of Returns Ratio Based on TGARCH Model［J］.Statistical and Application，2013.02（03）.

［4］Coenraad C.A.Labuschagne1，Sven T.von Boetticher.The GJR-GARCH and EGARCH option pricing models which incorporate the Piterbarg methodology［C］.International Conference on Economics，Finance and Statistics （ICEFS 2017）.Atlantis Press，2017（06）.

［5］D B Nugroho，D Kurniawati，L P Panjaitan，Z Kholil，B Susanto，L R Sasongko. Empirical performance of GARCH，GARCH-M，GJR-GARCH and log-GARCH models for returns volatility［J］.Journal of Physics： Conference Series，2019.

［6］S.Y.Hwang，I.V.Basawa.Stationarity and moment structure for Box-Cox transformed threshold GARCH（1，1） processes［J］.Statistics & Probability，2004.

［7］Visser，Marcel P.GARCH Parameter Estimation Using High-Frequency Data［J］.Journal of Financial Econometrics，2011.09（01）.

［8］S.Y.Hwanga，I.V.Basawa.Estimation and tests for power-transformed and threshold GARCH models［J］.Journal of Econometrics，2008.142（01）.