［提要］　针对沪深300股指期权定价问题，分别基于B-S-M模型、二叉树模型和蒙特卡洛模拟方法为期权定价。通过建立GARCH模型估计出标的资产的时变波动率，对沪深300股指期权合约进行实证分析，得到2016年5月到期的期权合约在2016年4月1日到15日交易的理论价格，最后将各模型的实证结果进行对比。结果表明：二叉树模型和蒙特卡洛模拟得到的理论价格更接近仿真交易的市场价格。

关键词：期权定价；B-S-M模型；二叉树；蒙特卡洛模拟

中图分类号：F830.91 文献标识码：A

收录日期：2016年6月15日

近年来，我国资本市场发展迅速，市值规模已跃居全球第二位，但产品结构单一问题仍较为突出。在该背景下，2013年11月8日中国金融期货交易所推出沪深300股指期权合约的仿真交易。2015年2月9日，上海证券交易所正式上市我国首个场内期权产品——上证50ETF期权，开启了中国证券市场的期权时代。期权、期货等金融衍生产品的交易通常有套期保值、投机、套利和资产管理四大目的，不同于同时转移不利风险和有利风险的期货，期权多头在运用期权进行套期保值时，能够只把不利风险转移出去而把有利风险留下，这种特征为期权带来很大的金融市场，具有巨大的发展潜力。在可预见的未来，沪深300股指期权等期权品种将更为丰富。对期权定价的研究具有重要意义。鉴于此，本文较为系统地研究了基于GARCH模型求得波动率参数前提下，B-S-M模型、二叉树和蒙特卡洛模拟对沪深300股指期权的定价问题。

一、理论模型

（一）B-S-M模型。BS模型假设标的资产价格呈几何布朗运动，其价格变动连续，其波动率和无风险利率已知且保持恒定，标的资产在期权合约期内无红利支付，市场无交易成本并且允许做空。

假设股票价格S遵循几何布朗运动，标的资产价格服从对数正态分布，所以T时刻标的指数的对数价格服从正态分布，在风险中性世界下，看涨期权的价值c为：

c=e■■［max（S■-K，0）］　（1）

对上式的积分过程进行求解，结果为：

c=SN（d■）-Ke■N（d■）　（2）

其中d■=■+■?滓■，d■=d■-?滓■，?子=T-t，。模型总共有五个参数（S，K，T-t，r，?滓）。参数S，K，T-t在合约交易时可以直接确定，无风险利率r选取最近一个月的SHIBOR利率，转换得到其连续复利的年化利率作为无风险收益率，时变波动率?滓t由GARCH模型确定。

（二）二叉树模型。二叉树定价模型假设标的资产的价格在dt时间段后从开始的S变动到Su或者Sd，并且假定在整个期权的合约期内标的资产价格每次涨价或跌价的概率和幅度不变。模型将整个合约期分为若干时间段，根据标的资产的历史波动率模拟标的资产价格所有可能的发展路径，对每一路径上的每一节点计算期权的价值，从而贴现倒推出期权现值。相较于B-S公式，二叉树模型适用于处理更为复杂的期权。

（三）蒙特卡洛模拟。蒙特卡洛模拟是一种基于模拟标的资产价格的随机运动路径得到期权价值期望值的数值方法。基本思路为：欧式期权的价值等于期权到期回报的期望值的贴现（式（1）），因此先模拟出风险中性世界下标的资产价格的运动路径，然后计算所有路径结果下期权回报的均值，最后用无风险利率贴现得到期权价值。

假定标的资产价格服从对数正态分布，则经过dt时间段后标的资产的价格为：

S（t+dt）=S（t）exp［（?滋-■）dt+?滓?着■］　（3）

可由（3）式产生标的资产价格的运动路径，模拟得到T时刻标的资产的价格。求得T时刻的每个标的资产的价格对应的看涨或看跌期权在T时刻的价值，即：c■=max（S■-K，0），p■=max（K-S■，0）。据此可求得T时刻期权价值的期望值，对期权价值的期望值贴现进而计算出期权定价。

（四）波动率的估计模型。上述模型需要事先已知一个重要的参数——波动率?滓。金融时间序列常常具有条件异方差性，GARCH模型考虑到波动的自相关和均值回复的特性，能更好地描述时变的波动率。GARCH（p，q）模型的具体形式为：R■=?滋+u■=?滋+?滓■?着■?滓■■=?棕+■?琢■u■■+■?茁■?滓■■，其中R■是标的资产在t时刻的收益率，?滓■■是t时刻方差的估计值，?滋为收益率的均值，假定残差?着■服从正态分布或者t分布。

为了统一单位，需要将收益率的日标准差转化为年化标准差：

?滓■＝?滓■×■＝?滓■×■　（4）

二、实证分析

（一）数据的选取和描述统计。本文选取沪深300指数日收盘价作为标的资产的数据，对沪深300股指期权的合约价值进行估计。数据均来源于WIND资讯金融终端。选择2016年3月SHIBOR的均值为R＝3.08%，根据1+R＝er，转换得到其连续复利利率作为无风险收益率r＝3.04%。数据的时间跨度为2015年4月1日到2016年4月15日，共计256组日交易数据。取对数作差分形式对日收益率数据进行处理，计算公式为：Rt=ln（Pt/Pt-1），其中Rt表示t时刻样本的对数收益率；Pt表示t时刻样本的收盘价。

对收益率序列进行相应的统计描述。给出标的资产收益率的描述性统计量如表1所示。（表1）

（二）数据的检验和模型的估计。首先，采用ADF检验法，对沪深300指数进行单位根检验。检验结果表明，在1%的显著性水平下，样本收益率序列的ADF统计量为-14.79246，小于临界值-3.45599，样本收益率序列均平稳；其次，绘制样本期内收益率的折线图，发现收益率序列具有明显的波动率聚集现象，表明误差可能具有条件异方差性质。将收益率进行平方生成新序列，观察新序列所有滞后阶数的自相关和偏自相关系数均显著不为0，Q统计量大于显著性水平下的临界值，表明收益率序列均存在ARCH效应。

对收益率分别尝试建立残差分别服从正态分布和t分布的GARCH（1，1）、GARCH（1，2）、GARCH（2，1）和GARCH（2，2）模型。根据AIC和SC准则，回归结果表明残差服从t分布的模型显著优于其服从正态分布的模型，同时在残差服从t分布的模型中，对收益率序列建立的GARCH（1，1）模型最优。因此，本文最终选用GARCH（1，1）-t模型对标的资产收益率建模。估计结果为：

R■=0.002011+u■

?滓■■＝0.0000231+0.13159u■■+0.85794?滓■■

（1.0214）　（1.8627）　（14.3285）

?琢+?茁＝0.9895 LLF＝598.504

ARCH和GARCH项系数之和均小于1，满足参数约束条件。由MATLAB软件导出t时刻对应的波动率?滓t，按照（4）式将其转化为年化波动率用于定价。

（三）结果分析。运用B-S-M模型、二叉树模型和蒙特卡洛模拟方法对IO1605-3050看涨和看跌期权定价。其中，二叉树模型的区间步长为1天，蒙特卡洛模拟法对每日合约价格模拟出100，000条运动路径。选取2016年4月1日至4月15日作为评价期间，运用这三个模型对这10天的期权进行定价。定价结果如表2所示。（表2）

假定仿真交易的数据是有效的，由表2可知，三种模型对于看涨期权的定价误差较小，对于看跌期权的定价误差较大，其中蒙特卡洛模拟较优，其次是二叉树模型，B-S-M模型定价误差较大。如果假定仿真交易数据是有效的，根据看涨期权合约定价误差较小的结果，可知对无风险收益率的选择是基本有效的，但是同样的数据求得看跌期权合约的定价误差较大，进一步套用看涨看跌平价公式，发现仿真交易数据难以满足看跌看涨平价定理，扣除交易费用后，套利机会依然存在。误差可能是由于仿真交易市场不够完善或者选取参数的误差所致。

三、结论

本文基于M-B-S模型、二叉树定价模型和蒙特卡洛模拟方法分别对沪深300股指期权进行定价，对资产收益率序列建立GARCH模型，选用时变波动率作为波动率参数。将定价结果与仿真交易数据进行比较，发现二叉树模型和蒙特卡洛模拟方法较优，进一步计算发现仿真交易数据并不满足期权看涨看跌平价定理，扣除交易费用后依然存在套利机会，说明仿真的期权市场需要进一步完善，以期为未来沪深300股指期权的推出奠定基础。本文得到的定价结果表明，三种期权定价方法对看涨期权的定价误差较小，说明模型是有效的。

（作者单位：安徽财经大学金融学院）

主要参考文献：

［1］张原锟，杨华.基于Black-Scholes模型的沪深300股指期权定价研究［J］.北华大学学报，2014.15.1.

［2］郑振龙，陈蓉.金融工程［M］.北京：高等教育出版社，2015.