［提要］　当市场上等价鞅测度不唯一时，资产的价格不是唯一确定的，故此找到在一定评判标准下的最优鞅测度对资产定价很有帮助。1991年，Follmer和Schweizer引入了局部风险最小的鞅测度和最小鞅测度。1994年，Gerber-Shiu将Esscher变换引入期权定价，在Esscher变换下找到了唯一的鞅测度。1996年，Schweizer提出了方差最优的评判标准，找到一个鞅测度使到期日的未定权益相对于某种投资策略的方差最小。1999年，Chan研究了Levy过程的最小鞅测度。2001年，严加安院士和Ping Li，Jianming Xia讨论了在离散不完备市场效用最大化的评判标准下的鞅测度。1957年，Janes提出了信息论中的极大熵观点。在只掌握部分信息的情况下，要对分布作出推断时，应该取符合一定约束条件但熵值取最大的概率分布。该问题可理解为找一个目标泛函使有关拉格朗日函数取极大值，这就不可避免要用到变分法。2004年10月，秦学志采用鞅测度理论和信息论中的极大熵原理、交叉熵原理研究了有限状态证券市场上等价鞅测度不唯一时资产的定价问题，在确定性最大的意义下给出了两种确定资产唯一价格的方法。2006年，刘利敏在财富过程仅由Brown运动驱动波动率随机的情况下，比较最小方差鞅测度，最小鞅测度和最小熵鞅测度。关于跳过程的研究，有跳的强度过程，Merton的跳的密度过程。Kou在2002年将跳按上跳和下跳分类，用双指数跳过程刻画股价过程。大家都在找最优鞅测度，可是当考虑到多因子模型，鞅测度不一定存在，更谈不上最优鞅测度。能否在一定评判标准下去找一个相对靠谱的侧度呢？在多因子模型中，不能同时保证每个股价过程都是鞅，但是可以找到一个侧度变换，对每个股价过程平均来说最靠近一个鞅测度，且关于财富过程是一个鞅过程，由此解决了多因子模型在任何情形下测度的选取。

关键词：多因子驱动；鞅过程；测度；拉格朗日乘子法；Black-Scholes模型

中图分类号：F83 文献标识码：A

收录日期：2016年10月22日

一、多因子Black-Scholes连续模型构建

自从美国经济学家布莱克和斯科尔斯1973年在JournalOf Political Economy上发表了The Pricing Options and Corporate Liabilities的经典论文后，Black-Scholes模型成为期权定价的经典方法。几乎所有后来的期权定价模型与该模型都有着很大的联系，或者说都是在该模型上改进或者改变以求得与现实更加贴近的模型，从而来指导我们进行资产定价和套期保值。Scholes也因为在期权定价方面的贡献卓越而获得了1997年诺贝尔经济学奖。但是，Black-Scholes模型有着许多假设前提，如：（1）股票价格是对数正态分布的；（2）允许无限卖空；（3）没有交易费用或税收，所有证券都是高度可分的；（4）在衍生证券的有效期内设有红利支付；（5）不存在无风险套利机会；（6）证券交易可连续；（7）无风险利率r为常数，且对所有到期日都相同。所以，该模型是基于一个无摩擦的市场建立起来的，有着一些局限性。本文是基于多因子的Black-Scholes模型对其套期保值策略进行讨论。

市场由一种现金债券｛Bt｝0≤t≤T和价格为｛St1，St2，St3…Stn｝0≤t≤T的n个不同的风险证券组成，它们满足下列微分方程组：

dSti=Sti（■?滓ij（t）dWtj+?滋t（t）dt）

其中，Wt=（Wt1，Wt2，Wt3…Wtm）T，0≤t≤T是一个定义在完备概率空间（Ψ，F，P）上的标准n维布朗运动。用｛Ft，0≤t≤T｝表示由布朗运动W（t）产生的FtW=σ（W（u）；0≤u≤t）关于P完备的σ－域流。

为得到套期保值策略，要使得每个股价的贴现过程是一个鞅，贴现过程｛■ti｝t≥0满足如下随机微分方程组：

d■ti=■ti（?滋t（t）-r）dt+■ti■?滓ij（t）dWtj （i=1，2…n）

其中，■ti＝ertSit

根据多因子Girsanov定理，存在概率测度Q，使得■ti＝Wti+■?兹i（s）ds的过程在Q下是一个Brown运动。

那么，d■ti=■ti（?滋t（t）-r-■?滓ij（t）?兹j（t））dt+■ti■?滓ij（t）d■ti （i=1，2…n）

为使得资产贴现过程是一个鞅，有：

?滋t（t）－r-■?滓ij（t）?兹j（t）＝0

写成矩阵形式，有：

?滓n×m?兹m×1＝?滋n×1-rn×1

二、讨论?兹n×1的存在情况（解的存在情况）

（一）由高等代数的理论，有：

①当秩R（?滓n×m）＝R（?滓n×m，?滋n×1-rn×1）＝m，存在唯一解。

②当秩R（?滓n×m）＝R（?滓n×m，?滋n×1-rn×1）＜m，存在无穷解。

③当秩R（?滓n×m）＜R（?滓n×m，?滋n×1-rn×1），无解。

（二）当m≤n，即市场上噪声源数目不大于可交易风险资产数目，存在唯一解、存在无穷解和无解三种情况都有可能。当m＞n，即市场上噪声源数目大于可交易风险资产数目，R（?滓n×m）≤n＜m，不可能存在唯一解。

实际是，市场上的噪声大于可交易风险资产数目才是常态，因为风险资产数目一定是正整数，而影响价格波动的因素从某种角度上讲应该是无穷多个，那么对应的，对于风险资产的价格的驱动也应该是无穷个，驱动之间是否相关性就不知道了。即使驱动之间存在相关性，我们在分解成一些不存在相关的驱动时，也极有可能得用无穷个驱动来表示，因此无论怎样，无解是常态，对无解情况的处理显得特别重要。而现实中一些学者都热衷于处理?兹存在无穷解的情况。譬如，研究多因子情况下和多因子带跳情况下的最小方差鞅测度，最小鞅测度和最小熵鞅测度等。这些工作都是存在无穷解时找在一定评价标准和约束下的最优解。

三、无解情况的处理

我们令?着i=?滋t（t）-r-■?滓ij（t）?兹j（t）

■?着i2尽可能小，整体来说，才能尽可能接近是鞅，类似于最小二乘的思想。矩阵形式的一阶条件：

■＝-2?滓T（?滋-r）+2?滓T?滓?兹＝0?圯?兹＝（?滓T?滓）－1?滓T（?滋-r）

二阶条件：

■＝2?滓T?滓＞0

故?兹＝（?滓T?滓）－1?滓T（?滋-r）是在某种意义下的确使得整体漂移率最小的取值。

四、假设财富过程为■aiSti，对财富求微分

■aid■ti=■ai［■ti（?滋t（t）-r－■?滓ij（t）?兹j（t））］dt+■ai■ti■?滓ij（t）d■tj

既然找不到一个测度使所有风险资产都是一个鞅，那么我们退而求其次，使其整体财富是一个鞅过程。即能让下式成立：

■ai■ti［（?滋t（t）-r－■?滓ij（t）?兹j（t））］＝0

结合上面我们讨论的，我们现在找出一个测度使财富过程是一个鞅，同时使得每种资产过程靠近一个鞅。因为实际中我们不在乎一城一地的得失，我们真正关心的是自己所有财富能否保值增值，而不是那一个投资项目是否能保值增值。上述问题可以用如下模型表述：

■?着T?着

s.t.

aTISTt（?滋-r－?滓?兹）＝0

I＝（1，1，…1）T

其中，构造拉格朗日函数：

L（?兹，?姿）＝?着T?着+2?姿［aTISTt?滓?兹－aTISTt（?滋-r）］

一阶条件为：

■＝－2?滓T（?滋-r）+2?滓T?滓?兹+2?滓TtSTIa?姿＝0

■＝－2［aTISTt?滓?兹－aTISTt（?滋-r）］＝0

由第一个方程得：

?兹＝（?滓T?滓）－1［?滓T（?滋-r）-?滓TSTtIa?姿］

代入第二个方程得：

aTISTt?滓［（?滓T?滓）－1?滓T（?滋-r）-?滓TSTtIa?姿］＝aTISTt（?滋-r）

?姿＝［aTISTt?滓（?滓T?滓）－1?滓TStITa］-1［aTISTt?滓-aTISTt（?滋-r）］

?兹＝（?滓T?滓）－1?滓T（?滋-r）-（?滓T?滓）－1?滓TStITa［aTISTt?滓（?滓T?滓）－1?滓TStITa］-1［aTISTt?滓-aTISTt（?滋-r）］

于是我们就找到了在尽量保证每个资产过程接近一个鞅，且财富过程是一个鞅的?兹值。

五、结语

假定金融市场中标的资产期货的价格受多个随机因素的影响，满足Ito型随机微分方程，以及无风险利率等随时间变化而变化，建立了具有变系数的多维Black-Scholes模型，该金融市场模型从维数、模型参数等角度对Black-Scholes模型作了更为合理的推广。

值得注意的是，多因子模型完全可以推广到带跳的多因子模型，可以推广到利率和波动率都变动的模型，还可以推广到有摩擦的期权市场，等等。往往把原有模型的假设去掉几条，都会给我们的研究带来极大的挑战。为克服标准Black-Scholes模型的不足，面对挑战，相继出现了一些修正的模型和方法，如斯科尔斯（1976）本人考虑了税收的影响；利兰（Le-land，1985）把交易成本引入模型；索普（Thorpe，1973）检验了卖空限制条件；布莱克在《期权应用的事实与想象》一文中考虑了股利支付；Roll（1979）、Greeks（1979）、Whal-ey（1981）运用连续时间定价方法推出原生证券有红利支付的看涨期权定价公式。

如带有支付红利的风险资产，带有交易费的资产等，这些需要进一步研究。

本文将波动率看成给定的适应的过程，实际中往往波动率是一个随机变量，需要用统计的方法去估计，目前波动率的研究也有一些进展。通常，可以同时得到基于同一种股票的几种不同期权的几个波动率，然后对这些波动率进行各种加权平均就可以计算出该股票的综合波动率。计算中得到每个波动率的权重应当反映对应期权价格对波动率的敏感性。Latane ＆ Rendleman，Chiras ＆ Manaster，Whaley都讨论了其他的加权方法，但都存在估计误差，如何得到一个合理的波动率估计仍然需要研究。本模型可以推广到随机波动率，其结果和处理方式大致不变。

本文的做法类似于带约束条件的多元线性回归，只不过本文的约束就是财富过程是一个鞅。同样，在保证可以用拉格朗日乘子法找出最优解的情况下，我们可以考虑更多的我们需要的约束来满足我们的要求。其实本文是把找策略的过程当成了一个优化问题，运用拉格朗日乘子法得到了很好的处理，有一定理论价值和实用价值。整个过程就是尽可能用到我们能用到的条件和信息去尽可能满足我们的需求。

（作者单位：新疆财经大学）

主要参考文献：

［1］Shreve S E.Stochastic Calculus For Finance［M］.Springer，2003.

［2］Esscher，F.On the Probability Function in the Collective Theory of Risk［J］.Skandinavisk Aktuarietidskrift，1932.15.

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［4］M.Schweizer.Variance-Optimal Hedging in Discrete Time［J］.Mathematics ofOperations Research，1995b.20.

［5］Yan J.A.lntroduction to martingle methods in option pricing［J］.Mathematical Science.City Univ.of Hong Kong，1998.

［6］ChanT.Pricing contigent claims on stocks driven by Levy process［J］.The Annals of Applied Probability，1999.9.2.

［7］Schweizer，M.Risk-minimizing strategies indiscrete time incomple financial markets［J］.Chinese Science Bulletin，1998.43.19.

［8］李晓春，黄水霞.跳扩散半鞅的最小鞅测度和最小熵鞅测度［J］.

［9］秦学志等.基于和墒原理的资本资产定价方法［J］.2004.l.13.

［10］王生喜.金融数学理论与方法［J］.北京：清华大学出版社，2015.

［11］王玉文.随机金融数学引论［J］.北京：科学出版社，2015.1.

［12］BLACK F，SCHOLES M.The pricing of options and corporate liabilities［J］.J Political Econom，1973.81.