［提要］ 运用灰色系统理论中的GM（1，1）模型，以新疆2005～2014年GDP总量数据为例，建立新疆生产总值灰色预测模型，并对2016～2020年新疆生产总值作了预测，利用灰色关联度分析，分析新疆一二三产业对GDP的影响程度，以便为新疆经济发展的可持续性提供科学的依据。
关键词：GDP；GM（1，1）模型；灰色关联度
中图分类号：F127 文献标识码：A
原标题：灰色预测模型GM（1，1）及其在新疆GDP预测中的应用
收录日期：2017年1月21日
一、引言
GDP是衡量一个国家或地区经济状况和发展水平的重要指标，也是国民经济核算的核心指标。它不仅可以反映一个国家或地区的经济发展变化，而且更可以反映一个地区的持续发展能力和财富情况。而对一个地区的GDP发展趋势进行研究和预测，以及对影响GDP发展的主要因素进行定量研究，对于当地政府制定宏观经济政策、经济发展战略都具有重要意义。
新疆维吾尔自治区地处我国的西部边陲地区，与邻边多个国家接壤或毗邻，是我国实施西部大开发战略的重点地区，同时也是中国向中亚南亚各国开放的重要门户，其经济体系在西北地区战略中具有重要性和引导性。因此，我们有必要实证地分析新疆的GDP历史数据，研究新疆GDP的变动趋势和统计规律性，为当地经济发展供坚实的经济依据。
本文运用灰色系统理论中的GM（1，1）模型，对2005～2014年新疆的GDP总量进行研究，建立新疆GDP发展的预测模型，用灰色关联分析方法系统地分析2015～2020年新疆的GDP总量与第一产业、第二产业、第三产业等因素的关系，并探讨影响新疆GDP发展的主要因素和各因素相对于新疆GDP发展的关联程度。
二、GM（1，1）模型简介
灰色预测方法在经济预测中是一种非常有效的方法，其主要特点是建立预测模型时所需原始数据不多，便于采集和处理，并且数据处理时不用去寻找其统计规律和概率分布，而是对原始数据作一定处理后，使其成为有规律的时间序列数据，在此基础上建立数学模型。本文采用基于累加生成数列的GM（1，1）模型。建模步骤如下：
设有一组原始序列为x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）
记X（0）=｛x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）｝
对该原始序列作一次累加生成 （1一AGO），得：
X（1）=｛x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）｝
其中，X（1）（k）=■X（0）（i），k=1，2，…，n
利用累加生成数列X（1）可建立灰色模型，GM（1，1），模型的一般式为：
■+ax（1）＝b
为求此方程的解，可用最小二乘法并结合MATLAB软件解出估计参数列（a，b）T：
ab=（BTB）-1BTYN，
B=-■（x（1）（1）+x（1）（2）） 1-■（x（1）（2）+x（1）（3）） 1…
…-■（x（1）（n-1）+x（1）（n）） 1
YN=（x（0）（2），x（0）（3），…，x（0）（n））T
代入微分方程的解，得到时间函数：
x（1）（t）=（x（1）（1）-■）e-at+■
再由GM（1，l）模型的基本形式：
x（0）（k）+az（1）（k）=b
其中z（1）（k）=■（z（1）（k）+x（1）（k-1）），k=2，3，…，n
灰色预测的离散时间响应序列为：
■（1）（k+1）= （x（0）（1）-■）e-ak+■，k=1，2，…，n
从而其预测值还原为：
■（0）（k+1）=■（1）（k+1）-■（1）（k）
根据以上公式，就能够得到未来的预测值，但是预测值是否可靠，就必须要对模型进行检验，灰色预测模型的检验方法主要有残差检验与后验差检验。
（1）残差检验。设原始序列为：X（0）=｛x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）｝，对应的模型模拟序列为：■（0）=｛■（0）（1），■（0）（2），…，■（0）（n）｝，残差序列为：?着（0）＝｛?着（2），?着（3），…，?着（n）｝＝｛x（0）（2）-■（0）（2），x（0）（3）-■（0）（3），…，x（0）（n）-■（0）（n）｝；■=■■x（0）（k）为X（0）的均值，S12=■■（x（0）（k）-■）2为X（0）的方差，■=■■?着（k）为残差均值，S22=■■（?着（k）-■）2为残差方差。
（2）后验差比值与小误差概率。后验差比值：c=■；对于给定的一个c0>0，当c<c0时，称模型为均方差比合格模型。
小误差概率：p=P（?着（k）-■<0.6745S1），对于给定的p0>0，当p>p0时，该模型被称为小误差概率合格模型。（表1）
三、新疆GDP预测模型
本文选用2005～2015年新疆GDP数据进行分析，原始序列如表2所示。（表2）
模型预测过程：我们把GDP数列（表2中的数据）作为原始序列X（0），然后将其进行一次累加生成序列X（1），再由最小二乘法结合MATLAB编程求得参数为：■＝（■，■）T＝（BTB）-1BTYN（-0.1412，2513.4366）T，即：a=-0.1412，b=2513.4366，于是可得到GM（1，l）预测模型为：■（1）（k+1）=20404.7325e0.1412k-17800.5425。
上式就是新疆GDP（累加后）的预测公式，实际值、预测值、绝对误差、相对误差如表3所示。（表3）
原始序列标准差为S1=2229.5862，绝对误差序列标准差S2=227.6334，方差c=S2/S1=0.1021<0.35；绝对值误差序列平均值■≈2.467；再依据下式计算小误差概率：P=P（?着（k）-■<0.3745S1）=P（?着（0）（k）-2.467<1503.8559）。
由上式所计算的小误差结果知：max?着（0）（k）-2.467=447.893<1503.8559，从而P=P（?着（k）-■<0.3745S1）=P（?着（0）（k）-2.467<1503.8559）=1>0.95
经计算知c=0.1021，p=1.0000，该预测模型精度为一级（很好），所以本模型可靠，预测精度较高，具有实际应用价值。未来五年新疆的GDP预测值如表4所示。（表4）
由此可见，2020年新疆GDP将超过2万亿元。
四、灰色关联度分析
影响新疆生产总值的因素有很多，各因素对GDP的影响程度也不同，灰色关联度分析可用于分析因素间随时间变化的动态关系及其特征，找出各因素与GDP之间的关系密切程度。下面讨论一二三产业对GDP的影响程度。
（一）建立数据列
1、建立参考数据列，记参考数据列为：X0=｛x0（1），x0（2），…，x0（n）｝。
2、建立比较数据列，记比较数据列为：Xi=｛xi（1），xi（2），…，xi（n）｝，i=1，2，…，m。
为了研究GDP变化与第一产业、第二产业等因素之间的关系，指定GDP数据列为参考数据列X0，其他数据列为比较数据列Xi，即第一产业生产总值序列为X1，第二产业生产总值序列为X2，第三产业生产总值序列为X3，详见表5。（表5）
（二）原始数据处理。对各序列做均值化变换，首先求出各序列的平均值，然后用平均值去除各个序列的原始数据，所得新数列即为均值化序列。
（三）确定关联度。关联程度，指的是曲线间几何形状的差别程度。因此，曲线之间的差值可以用来衡量关联程度的大小。通过下列公式可计算出相关系数：
?着i（k）＝■，i=1，2，3；k=1，2，…，10
其中，?籽为分辨系数，一般在0～1之间，这里取?籽=0.5，第i产业与GDP的灰色关联度为：
ri＝■■?孜i（t），i=1，2，3
经MATLAB处理得灰色关联度：
r1=0.3366，r2=0.4371，r3=0.3953
第一、第二、第三产业与GDP的相关程度排序为：第二产业≥第三产业≥第一产业。
五、结论与讨论
从表2中我们可以看出，2004～2014年新疆维吾尔自治区生产总值处于快速增长阶段，通过运用灰色预测模型做的短期预测结果来看，未来几年新疆生产总值仍将持续快速增长，且会在2020年突破2万亿元。
根据灰色关联分析的原则，各不同因素与GDP的关联度越大，说明该因素与GDP的关系程度越密切，对GDP越重要。从上面的关联度排序可以看出：因为新疆的自然资源比较丰富，第二产业的发展对经济的增长起到了较大的作用，第三产业虽然没有第一产业明显，但仍有较大的发展空间。而第一产业对新疆GDP影响较小，所以在新疆经济发展的过程中，我们应该要大力推进第二产业和第三产业两者的融合发展。利用新疆独特的自然资源，大力发展旅游业、信息技术服务业、餐饮娱乐业等营利性服务业，促使服务业全面发展。同时，还要加快喀什、霍尔果斯经济开发区和综合保税区的建设，加大“走出去”支持力度，建设好境外产业集聚区，加快丝绸之路经济带建设。
本文所得结论是建立在数学模型基础上，有较高的可信度，期望能给有关部门和领导决策提供科学依据。■
（作者单位：新疆财经大学应用数学学院）
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