［提要］ 本文结合平滑转换自回归模型（STAR）与GARCH模型，对沪深300股指期货基差的非线性特征进行研究，发现STAR-EGARCH模型能够较好地对沪深300股指期货基差进行模拟，且基差具有偏离不对称现象；另外，基差的波动亦具有不对称性，并且相对于利空消息，利好消息对基差波动性的影响更大；基差还具有均值返还特性。
关键词：股指期货；基差；非线性；STAR-EGARCH
中图分类号：F832.5 文献标识码：A
收录日期：2017年11月28日
一、引言
2010年4月，沪深300股指期货在中国金融期货交易所正式上市。该期货交易活跃，被广大股票市场参与者充分利用，成为规避风险的极其有利的工具，并极大地完善了我国金融市场。而在使用股指期货过程中，投资者只有准确地预测期货和现货之间的相对波动，才能成功地进行套期保值，投机套利；监管者只有了解期现货波动过程的一般规律，才可以对市场风险进行观测，并及时做出相应的应对措施进行预防。所以，基差作为联系期现货关系的重要组成部分，对其波动特性的探讨具有十分重大的意义。
二、文献综述
有基差研究表示，因为交易成本以及代理异质性等因素的存在，期货基差存在非线性的调整过程。Michal
Monoyios（2002）采用非线性回归模型来模拟标准普尔500指数和富时指数100的基差，研究表明受到较小冲击的时候，基差显示出持久性，基差受到较大冲击的时候，基差表现出高度的非线性均值回归。国内目前对基差的特征研究也相对较多。易蓉（2008）运用平滑转换自回归模型（STAR），实证分析了沪铜近月合约期货的基差，实证结果表明其基差存在非线性特性，且具有均值返还特性。梁春早（2009）则通过对比GARCH模型、不考虑非对称效应的SE-GARCH模型以及考虑了非对称效应的AE-GARCH模型，分别对VaR的效果进行估计，不但证明了基差对铜期货波动的显著非对称效应的存在，而且证明了负基差相对于正基差对波动性的影响更大。张雪莹等（2012）利用门限自回归模型（TAR）通过对沪深300股指期货价差研究发现，短期的套利行为不会使基差迅速回复到无套利区间；另外，通过进一步对基差序列进行建模分析，又一次发现了基差序列的非对称特性，并且证明了相比于负基差来说，正基差受卖空约束的影响更大，更容易进行套利。陈冲等（2012）根据铜期货基差的非对称性，通过将基差分成正负项，并引入DCC-BGARCH模型，证明了负基差对期货收益的影响更大，对现货的价格波动及相关性影响也更显著。蒋勇等（2013）根据我国市场上多空机制的不对称性，通过运用三阶段的门限自回归模型（TAR）来探究沪深300股指期货基差的非线性特性及均值回复的特点，实证结果表明：三阶段门限自回归模型可以较好的描述股指期货基差的动态特征，不仅着重反映了其均值回复特性，而且还反映了在我国期现货市场上参与者反向套利的成本较高的现象。
因此，对比前人主要运用TAR模型来研究沪深300股指期货基差，本文为了能够更好地检验并拟合沪深300股指期货基差的非线性，更好地模拟基差动态调整过程，且探究基差波动的特征，将Terasvirta（1994）提出的平滑转换自回归模型（STAR），与Nelson（1992）提出的EGARCH模型相结合，根据两区制的不同形式对股指期货基差进行模拟。不同于马尔科夫转化模型（简称MSR）和门限自回归模型（简称TAR），STAR模型的两区制之间的转换是连续且平滑的，而非离散、生硬的，相比其他模型更适合用来描述股指期货基差的动态变化特性。因此，本文基于沪深300近月基差30分钟数据，将STAR与EGARCH模型相结合，来分析股指期货基差的非线性特征。
三、实证分析
（一）模型简介。为了能够全面的考虑股指期货基差序列可能出现的非线性、条件异方差和金融时间序列的“尖峰厚尾”等特点，本文结合了STAR模型和EGARCH模型，使用STAR-EGARCH模型对基差序列进行拟合，建立模型如下：
yt=（?准1，0+?准1，1yt-1+…+?准1，pyt-p）+（?准2，0+?准2，1yt-1+…+ ?准2，pyt-p）G（st；r，c）+?着t t＝1，2，…，T （1）
?着t＝vt■ （2）
ln（ht）=?浊0+■（?茁i■+?渍i■）+■?兹jln（ht-j） （3）
其中，（1）式为均值方程，即STAR模型，yt是平稳的时间序列，?着t是误差项。G（st；r，c）为转换函数，表示机制间的转换方式，其中st为转换变量，可以是内生变量滞后项，外生变量或者他们的函数，一般使用内生变量的滞后性，根据本文的研究对象及目的，本文亦选择yt-d作为转换变量；r为平滑参数，代表着两个区制间的转换速度；c则是两个区制之间的门限值。（2）式中ht是?着t的条件方差，vt假设服从t分布序列。（3）式是条件方差方程，其中若?渍i显著不为零，说明信息作用是非对称的，即?渍i＞0时，外部正的波动冲击对未来条件方差的增幅大于负的波动冲击，反之亦然，体现了非对称的特性。
通过转换函数G（st；r，c）形式的不同，STAR模型一般有两种表示方法：指数STAR模型（ESTAR）和逻辑STAR模型（LSTAR）。其中，ESTAR模型的转换函数形式如下：
G（st；r，c）＝1-exp［-r（st-c）2］，r＞0 （4）
此模型描述的是转换变量st偏离阈值c时的对称调整过程，是以c为对称轴的倒钟形对称函数，即正负方向偏离的回归速度相同。
如下为LSTAR模型的具体转换函数：
G（st；r，c）＝｛1+exp［-r（st-c）］｝-1，r＞0 （5）
此模型描述的是时间序列根据转换变量与阈值的相对值进行非对称调整的过程，随着转换变量st的增加，转换函数从0单调增加到1，逻辑形式的均值模型逐渐从一种区制转换到另一种区制。其中，平滑参数r分别决定了各函数的平滑程度，即转化速度。
本文对STAR-EGARCH模型分两步进行估计，首先为充分描述股指期货基差序列的非线性针对b序列建立STAR形式的均值方程，而后检查其残差序列是不是存在ARCH效应，若存在再估计相应的条件方差形式EGARCH模型。依据Terasvirta（1994），STAR模型函数的估计主要包括以下步骤：
1、根据偏自相关函数或者信息准则函数，确定线性自回归的滞后阶数p，然后对要研究的时间序列建立线性自回归模型AR（p）。
2、利用STAR模型的泰勒展开式，就可以将非线性模型的参数检验化为线性模型的参数检验。然后，对不同的延迟因子d的模型进行线性检验，若结果拒绝了线性检验的原假设，表明可构建STAR模型。即利用G（st；r，c）在r=0处的三阶泰勒展开式构建辅助函数，如（6）式，进行wald检验求F值，检验原假设：?啄2＝?啄3＝?啄4，当有多个转换变量均拒绝原假设时，可以选择其中概率p值最小时对应的转换变量。
yt=?啄0+■(?啄1jyt-j+?啄2jyt-jst+?啄3jyt-jst2+?啄4jyt-jst3）+?滋t （6）
需要注意的是，线性自回归模型AR（p）中的滞后阶数不一定是STAR模型的滞后阶数，但它可以提供一个合理的初始估计。
3、STAR模型的具体形式的确定，即在指数函数和逻辑函数之间进行选择。根据两种形式转换函数在r=0处的泰勒展开式，指数函数近似式没有转换变量一次项和三次项，逻辑函数近似式没有转换变量的二次项。因此，分别对以下假设做检验：H03∶?啄4j＝0；H02∶?啄3j＝0｜?啄4j＝0；H01∶?啄2j＝0｜?啄3j＝?啄4j＝0。即原假设03代表了STAR模型泰勒展开式yt-jst3项系数为零，若检验结果拒绝原假设，则表明该项系数显著不为零，则根据指数函数和逻辑函数各自泰勒展开式特征可知，转换函数应选择逻辑函数；原假设02表示STAR模型泰勒展开式在yt-jst3系数为零的前提下，yt-jst2系数为零，若拒绝原假设则转换函数应选择指数函数；原假设01表示STAR模型泰勒展开式在yt-jst2与yt-jst3系数均为零的前提下，yt-jst系数亦为零，若拒绝原假设则转换函数应选择逻辑函数。将这三个原假设分别进行wald检验，求出F值和对应的概率p值。对比其概率的大小，来确定STAR模型的具体表达形式。
4、运用NSL，即非线性最小二乘法对模型的参数进行估量，即参数?兹＝（?准1，?准2，r，c）可通过以下模型进行预计：
■＝argmin?兹QT（?兹）=argmin?兹■［yt-F（xt；?兹）］2 （7）
其中，F（xt；?兹）是真实方程的对应值。本文采用可以快速收敛且能用常用计量软件实现的高斯-牛顿迭代法。由于该方法结果依赖初始值，所以参见郑挺国等（2008）的二维网格搜索法，先设置r和c的初始值，通过OLS得到两个线性部分的参数值，然后将该参数值与r和c的值作为非线性最小二乘法的初始值进行迭代，通过比较参数显著性和估计的方差-协方差矩阵，逐一删除不显著变量，得出最终表达式。
（二）数据来源与描述性统计分析。本文选取了沪深300指数与其期货的30分钟收盘价进行研究。由于2015年6月股市大跌，在2015年8月至9月期间中国金融期货交易所连续发布了五份规范性文件，实行管控，抑制股指期货市场过度投机，直至2017年2月限制措施才逐步取消。所以，本文样本期选取自2017年3月1日至2017年8月31日。由于同一交易日的期货在不同的交割月份有不同价格，且期货合约的时间跨度有限，所以本文采取近交割月构造法，即在最近月份的期货进入交割月后，选择下一个最近月份期货的价格，以此类推，本文共有1，016个数据。本文所用数据来均源于万德数据库，数据和模型的处理均采用EVIEWS计量软件。根据基差b=现货价格（s）-期货价格（f），计算得到沪深300股指期货基差，其描述性统计如表1所示，由ADF单位根检验结果在5%置信水平下拒绝原假设，我们可以知道序列b满足平稳的过程。（表1）
（三）模型的估计与检验
1、首先建立线性回归模型AR（p）。根据偏自相关图本文将滞后阶数的范围限定在1～9，比较AIC信息准则的值对模型进行滞后阶数p的确定，具体如表2所示。可以看出，当p=9时AIC的值最小，即p=9是最优滞后阶数。（表2）
AR（p）的回归结果如下所示：
b=0.6884+0.5924×b（-1）+0.2342×b（-2）+0.0190×b（-3）+0.0730×b（-4）+0.0163×b（-5）+0.0325×b（-6）-0.0769×b（-7）+0.1602×b（-8）-0.0834×b（-9） （8）
R2＝0.8735，调整后的R2＝0.8723，AIC＝5.4982，SC＝5.5470
对数似然数值＝-2758.355，残差平方和＝14118.14
2、在最优滞后阶数p=9的基础上根据STAR模型的泰勒展开式进行线性检验选择转换变量yt-d。本文选择延迟参数d范围是1～9，我们得到F的概率如表3。对比得出当d=9时，概率最小，即yt-9为转换变量。（表3）
3、在选择STAR模型的具体形式时，我们需要对三个原假设做检验：
H03∶?啄4j＝0
H02∶?啄3j＝0｜?啄4j＝0
H01∶?啄2j＝0｜?啄3j＝?啄4j＝0
通过wald检验，得到结果如表4，H01概率最小，即沪深300股指期货基差的STAR-EGARCH模型的均值方程应选择逻辑方程。（表4）
4、在估计模型参数时，通过网格搜索法、非线性最小二乘法等方法，比较参数显著性和估计的方差-协方差矩阵，删除不显著变量，得出LSTAR模型估计式如（9）式。其中括号里的数值是各参数的概率p。
b=0.8042×b（-1）+0.2257×b（-2）+［（-0.3456）× b（-1）+0.0982×b（-4）+0.1986×b（-8）］×｛1+exp ［（-0.2622）×［b（-9）-18.3390］］｝-1 （9）
（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0145）（0.0000） （0.0355） （0.0000）
R2＝0.8768，调整后的R2＝0.8761，AIC＝5.4655，SC＝5.4997
对数似然数值＝-2744.873，残差平方和＝13745.12
5、为进一步研究基差的序列波动性，对LSTAR模型的残差序列进行检验，发现残差序列具有ARCH效应。为考察外部正负冲击对波动的非对称影响，采用STAR-EGARCH模型来修正原模型，估计式子均值方程如（10）式，方差方程如（11）式。这里平滑参数r在5%水平下并不显著，但由于平滑参数r在该非线性模型中非常重要，因此不能根据显著性将其去除。
b=0.7825×b（-1）+0.2307×b（-2）+［（-0.2611）× b（-1）+0.0988×b（-4）+0.1372×b（-8）］×｛1+exp ［（-0.5687）×［b（-9）-18.2744］］｝-1+?着t （10）
（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0035）（0.0000）（0.2512） （0.0000）
ln（ht）=1.9045+0.3502×■+0.1867■+0.1520×ln（ht-1） （11）
（0.0001） （0.0000） （0.0011） （0.4254）
R2＝0.8762，调整后的R2＝0.8755，AIC＝5.3804，SC＝5.4390
对数似然数值＝-2697.030，残差平方和＝13811.20
上式与线性回归方程式（8）对比，该方程的R2、调整后的R2、AIC、SC、对数似然函数、残差平方和仍在不同程度上优于线性回归，且更好地解决了LSTAR模型的异方差问题，不仅可以较好地描述2017年3月至2017年8月间沪深300股指期货基差序列条件均值的非线性特征和动态变化过程，还能充分的拟合条件方差的非线性。
（四）结果分析
1、通过对比LSTAR-EGARCH模型与线性模型对基差估计的各项指标，可以发现，LSTAR-EGARCH模型的拟合优度略高于线性回归模型；从AIC、SC等信息准则的值来看，LSTAR-EGARCH模型的值也优于线性回归；同样，LSTAR-EGARCH模型的对数似然函数值大于线性回归，并且残差平方和小于线性回归，也更加证实了LSTAR-EGARCH模型比线性模型对基差的拟合效果更好。从另一方面也说明了沪深300股指期货基差序列具有非线性特征，此模型才会有更好的模拟效果。且LSTAR-EGARCH模型解决了线性方程中没有解决的残差异方差性，通过方差方程进一步描述残差的波动性。
2、基差具有偏离不对称现象。转换函数为逻辑函数，如图1所示，随着转换变量的增大转换函数也不断的增大。基差的调整行为不仅与其偏离均衡值的大小有关，还与其偏离的方向有关。当转换变量yt-9值较小时，即在无套利区间，yt的值主要是由前两期的基差，即LSTAR模型的线性部分决定；当转换变量yt-9值较大的时候，即在无套利区间外，yt的决定因素主要就是由前1、2、4、8期，即线性部分和非线性部分共同决定。可以看出，根据逻辑函数的不对称性表明基差偏离均衡价格的调整特征呈现不对称的现象。延迟因子d=9说明基差的结构转变发生在自身滞后9期，即当基差出现偏离致使股票市场出现套利机会时，投资者对基差偏离的平均反应时间为1天零30分钟，并且c=18.2740为基差机制转换的临界点，该点在样本的中间点偏左的位置，即有71.46%的样本值大于临界点，说明yt值更容易受LSTAR模型线性与非线性部分共同作用。（图1）
3、基差的波动不对称性。（11）式中，?着t-1/■系数在1%水平下显著不为零，表明沪深300股指期货基差波动存在杠杆效应，具有不对称效应，即当有利好消息时的基差波动程度（0.3502+0.1867）要比利空时（0.3502-0.1867）要大。一般情况下，相同力度的利空消息要比利好消息导致的波动要大，但是由于2015年8月至2017年2月的期货限制性措施的实施，导致期货市场成交量一直没有恢复到限制性措施实施之前的状态，再加上最近几个月沪深300股票指数处于历史较低的阶段，这就直接使得投资者对于利好消息的冲击反应较大。
4、基差的均值返还特性。非对称的均值方程LSTAR模型说明了沪深300股指期货基差的变动呈现非对称性的向均衡水平调整的特征。当yt-9值较大的时候，yt的大小主要由线性部分和非线性部分共同决定。此时，由于非线性部分中转换函数前的式子 （-0.2611）×y（-1）+0.0988×y（-4）+0.1371×y（-8）系数和在10%的显著性水平下不显著为零，说明接受系数和小于零的原假设，即当yt-9值较大时非线性部分可以有效的降低线性部分对于yt的估计，反映了基差逐渐向均值返还的特性。
（作者单位：陕西科技大学经济与管理学院）
主要参考文献：
［1］易蓉，周学军，张松，陆凤彬.沪铜期货基差之非线性动态调整特性研究［J］.管理评论，2008.10.
［2］梁春早.考虑基差非对称效应的期货VaR估计方法研究［J］.统计与决策，2009.7.
［3］张雪莹，刘洪武.沪深300股指期货基差的动态变化特征分析［J］.山东工商学院学报，2012.3.
［4］陈冲，刘向丽，徐山鹰，汪寿阳.基于基差角度的中国铜期货动态套保策略研究［J］.管理科学学报，2012.6.
［5］蒋勇，吴武清，叶五一，陈敏，缪柏其.股指期货基差的非线性特征和均值回复机制研究［J］.中国科学技术大学学报，2013.2.
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