［提要］　本文研究带有扩散项的假定下，原保险公司、再保险公司的破产问题。在索赔随机变量为指数情形，研究免赔额与破产概率之间的关系，并得出结果。

关键词：再保险；免赔上限额；破产概率

中图分类号：F84 文献标识码：A

收录日期：2016年1月12日

一、引言

在经典风险模型中，保险公司在t时刻的盈余过程可以表示如下：

U（t）=u+ct-■X■，t≥0 （1）

这里u＞0为保险公司的初始资金，c＞0为单位时间收取的保费（即为保率），N（t）为参数为?姿的泊松计数过程，而X■，i≥1为依照该过程来到的索赔额序列，且该序列为独立同分布的，我们记索赔额对应的分布函数为P（x）。假定索赔额的数学期望为?滋，且满足c＞?姿?滋。因此，相对安全加成（safety-loading）系数：

?兹＝■＞0 （2）

如果盈余首次为负值的话，则用风险理论的术语来说，就是发生了破产，而相应的概率就称为破产概率，即?渍（u）=P（T＜∞），其中T=inf｛t:U（t）＜0｝通常称为破产时刻。显然，1-?渍（u）＝R（u）即为永不破产的概率。该模型的一个显著特点就是索赔来到的时间间隔是指数分布的。对于该随机风险模型，关于破产概率?渍（u）有如下的结果：在具有相对安全加成的条件（1）下，该破产概率可以表示为：

?渍（u）=■■?渍（u-x）（1-P（x））dx+■■［1-P（x）］dx （3）

这就是著名的关于破产概率的所谓更新方程。该方程在理论上具有十分重要的意义。利用（3），可以在某些特殊场合求得?渍（u）的显式解。例如，当索赔额分布为指数分布或者加权指数分布时，有?渍（u）的显式解。自从Cramer-Lundberg建立了基本的随机风险模型以来，在经典的精算风险理论中，有关破产问题的研究一直是风险理论的一个重要研究方向，而且其思想已经逐渐渗透到投资理论、金融工程中的衍生工具定价，等等。

F.Dufresne和H.Gerber将模型（1）推广到带有扩散项的情形。他们考虑了如下模型：

U（t）=u+ct-■X■+W（t），t≥0 （4）

这里，{W（t）}是Wiener过程，其期望为0，方差为2D。即对于任意的t＞0，随机变量W（t）是正态分布的，期望为0，方差为2Dt。他们证明了，对于盈余过程（4），生存概率R（u）满足如下积分－微分方程：

■+?孜R（u）＝q?孜+■■R（u-z）（1-P（z））dz （5）

这里，?孜＝■，P（x）索赔额的分布函数，q=■。而H1（x）和H2（x）分别是相应的分布函数。

本文考虑模型（4）在具有免赔情形，再保险公司的破产问题，即研究索赔额形如max｛Xi-M，0｝，这里M是免赔额，即对于原保险公司来说，损失不超过M的部分自留，超过M的部分才由再保险公司方面承担。因此，Xi-M是再保险公司的赔偿额。对于再保险公司来说，其盈余过程应该是：

U■（t）=u+c■t-■max｛Y■-M，0｝+W（t）　（6）

这里，再保险公司在单位时间收取的保费为：

c■＝（1+?兹1）?姿E（max｛Xi-M，0｝）　（7）

其中，?兹1为再保险公司相对于原保险公司的安全加成因子。显然，如果?兹1＝0，即为所谓的净保费原理。与此相对应，原保险公司的盈余过程是：

U■（t）=u+（c-c■）t-■min｛Y■，M｝+W（t）=u+（（1+?兹）?姿EX■-（1+?兹■）?姿Emax｛X■-M，0｝）t-■min｛Y■，M｝+W（t）　（8）

即原保险公司将收取的保费ct分出一部分c■t交给再保险公司作为再保险费。在模型（6）中，当没有扩散项的情形，H.Gerber（1979）得到了有限时间内破产概率的上界估计；Centeno（1986）和Hesselager（1990）等人研究了最优再保险与调节系数的关系问题；Maria （1997）研究了破产概率上界的最优问题；而在具有扩散场合直接探讨免赔额与破产概率关系问题的文献目前尚未见到。本文我们研究在指数索赔额的假定下，盈余过程分别为（6）、（8）情形破产概率的若干性质，包括表达公式、调节系数等。

二、再保险公司的破产概率

不失一般性，我们假定指数分布的参数为1（标准指数分布），即其概率分布为P（x）=1-e-x。下面我们先给出如下两个引理：

引理1。对于指数分布的索赔额，如果X的概率分布为上述的P（x），则max（X-M，0）的分布函数H（x）为1-e-xe-M（从而其密度函数h（x）=e-xe-M），其数学期望为e-M。

证明：首先证明，如果X的概率分布为P（x），则max（X-M，0）的分布函数H（x）为1-e-xe-M。对于x＞0，我们有：

H（x）＝P（max（X-M，0）≤x）＝P（X≤x+M）＝1-e-xe-M

再来计算数学期望E（max｛X-M，0｝）。利用非负随机变量期望与积分的关系，易得：

E（max｛X-M，0｝）＝■P（max｛X-M，0｝＞t）dt=■e-M-xdx=e-M

利用该引理，首先可以得到如下的结果：

定理1。对于指数分布的索赔额，如果安全加成条件成立，则盈余过程满足（6）的再保险公司的破产概率有如下的表达公式：

证明：由?渍（u）＝1-R（u），代入公式（5），并经过变形可得：

D■+c?渍（u）=?姿■?渍（u-z）［1-P（z）］dz+?姿■（1-P（z））dz （9）

由引理1可得1-P（x）=e-Me-x，从而：

D■+c?渍（u）＝?姿e-Me-x■?渍（z）ezdz+?姿e-Me-u （10）

记Q（u）=?渍（u）eu，则上述方程可以变形为（讨论：如果c=D此时可以定出相应的参数，使得破产概率与免赔额无关）。

D■+（c-D）■-?姿e■Q（u）=0 （11）

求解该方程的特征方程Dr2+（c-D）r-?姿e■=0，可得：

1、如果△＝（c-D）2+4?姿e■D＞0，则由方程（11）可以解出?渍（u）＝ c1e■+c2e■，其中r■=■，这里△＝（c-D）2+4?姿e■D。根据布朗运动的特点可知?渍（0）＝1，从而有：

c1+c2=1 （12）

为了求解这两个常数，再将上述表达式代入公式（9），整理得：

-Dc■（1-r■）e■-Dc■（1-r■）e■+c（c■e■-c■e■）＝e■（■+■+?姿e■）-■-■ （13）

比较（13）两边e-u的系数，可以得到：

■+■=-1 （14）

联立方程（12）、（14），即可求得：c■=■，c■=■

讨论：如果这里c=D=（1+?兹）?姿（1-e-M），此时的特征根形式变得非常简单。即r■■＝■。如果扩散项为消失（D=0）时，由方程（10）容易得到：破产概率?渍（u）=■e■。这里利用了?渍（0）=■。显然与经典结果是一致的。这也说明，此时的破产概率与免赔额无关。道理很简单：指数分布具有无记忆性。如果将安全加成条件适当选取，破产概率也可以与免赔额无关。

2、如果△＝（c-D）2+4?姿e-MD＝0，显然此时只有c=D=0，从而此时必须有免赔额M=0，从而由Bowers（1997）可以知道，此时破产概率为1。

注记：上面特征方程的两个解也可以在这里通过方程（13）进行比较系数之后求得。更进一步，甚至可以假定出方程的形式，直接采取待定系数的方法求解，不必求解微分方程。

三、调节系数

本节我们研究两个盈余过程的调节系数。在再保险的情形，按照调节系数的定义，只需要使得e■为鞅。

由Ee■=e■e■Ee■Ee■，因此不难得到此时的调节系数应该是下列方程的正根：

?姿+c■r=?姿Ee■+Dr2 （15）

将上式改写为：

?姿+（1+?兹）?姿e■r=?姿P（X?燮M）+?姿■e■e■dx+Dr■

显然，（15）有平凡解r=0。另外的非零正解满足的方程为：

Dr（1-r）eM+?姿r（1+?兹）＝?姿?兹　（16）

如果当D=0，可以解出：R=■，这说明此时破产概率是与免赔额无关的。当D≠0时，可以解出R。在原保险的场合，类似地可以得到：

?姿+（c-cM）r=?姿Eermin｛X，M｝+Dr2 （17）

可以通过适当地选择使得调节系数尽量大些，这样就可以保证破产概率尽量得小。

（作者单位：台州科技职业学院）

主要参考文献：

［1］Hesselager O.Some results on optimal reinsurance in terms of adjustment coefficients.Scandinavian Actuarial Journal［J］.1990.

［2］Gerber H.An Intruduction to Matnematical  Risk Theory［M］.S.S Huebner Foundation Monographs，University of Pensylvania，1979.

［3］江涛等.平稳更新模型下生存概率的一个局部等价式［J］.中国科学（A辑），2004.4.