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| 利率关联与利率计算 |
| 第619期 作者：□文/刘爱梅 王永芳 时间：2019/10/16 10:52:21 浏览：309次 |
［提要］ 本文通过银行存款利率及利率期限结构等基础理论，分析实际利率变化与地方经济发展的关系，通过MATLAB软件计算利率及相应函数值并绘制数据变化曲线图，预测存款利率变化与地方经济发展呈现正相关性。
关键词：利率；年金；期限结构；利率曲线图
中图分类号：F83 文献标识码：A
收录日期：2019年7月17日
一、背景介绍
利率一般由各国政府或地方中央银行设定，利率调整是实现经济宏观调控的重要手段。如，美国1954～2008年间联邦基金利率变化百分比区间（简称利率变化区间）为［0.25，19］，中国人民银行1996～2015年基准利率变化区间为［0.3，2.97］，德国1920年基准利率接近90%，津巴布韦银行在2007年为解决螺旋式恶性通胀将利率调至800%。20世纪七八十年代，为应对经济萧条，美国信贷利率调整为1800年以来的峰值，储蓄利率达25%～50%。我国1979年前活期存款利率维持在2.16%，1979～1990年我国活期利率上涨到2.88%。利率增长促进了融资，使国内生产总值保持增长。2008年亚洲金融危机后，为减少存款以促进消费，保持经济增长，我国银行存款活期利率从0.72%下调至0.36%。利率与国家经济政策、国际形式和一个国家的经济发展规划有关，它也关系着民生。利率分析可让存款收益得到最大化，同时贷款利率高低还决定了贷款成本。
马克思把利润视为剥削，而麦卡洛克的生产力理论通过将资本设备描绘成累积劳动力的一个体现来证明利润的合法化。1898年，威克塞尔阐述了基于自然利率和名义利率间区别的经济危机的理论；威克塞尔将货币利率与易货经济资本供需平衡导致的假设自然利率区分开来，认为利率通过信用机制对商品价格产生影响，且在自然利率和货币利率一致时价格趋于稳定。19世纪后期，西尔维奥格塞尔提出负利率，即持有货币税。凯恩斯赞同货币税的提法，但是由于执行困难而被驳回。美联邦员工曾在1999年提出了货币纳税法，以扣除存款手续费，税款基于票据的时间执行。实现负实际利率并抑制现金的一个更简单的方法是政府鼓励温和的通货膨胀性货币政策。2016年，瑞典、丹麦和瑞士等国家出现了负利率政策，这些国家对储蓄设定了负利息，即对储蓄收取利息。2009年7月，瑞典中央银行将一周存款利率设定为0.25%，同时将隔夜存款利率设定为-0.25%。中国银行利率无负利率，且存款利率无大幅度变化。在2007年、2008年和2015年出现多次调整基准利率的情况。利率的调整受国家经济发展现状、人民消费水平、汇率和国家外汇储备量等因素的影响。利率的合理制定不仅要考虑当前的经济情形，还需对过去的数据进行分析，并对将来的发展趋势进行判断。因此，利率研究关系着国家的经济发展和民生问题。本文介绍利率相关和利率期限结构，并运用MATLAB进行计算利率相关指标的计算。
二、基本概念与公式
利率有单利和复利两种形式。单利以初始本金为基础，复利则以本金加利息为基础。累计函数是度量利息的基本工具，为关于时间t的递增函数，分为连续和非连续函数。实际利率（i）是指单位本金在一个时期赚取的利息，用百分数表示。我们用a（t）表示时刻t的累积函数，那么t时刻实际利率为：
it=■ （1）
这里假设（t-1，t）时期内产生的利息it只能在时刻t获得。记年实际利率为i，月实际利率为i1，则（l+i）l2=1+i。用i（m）表示年复利m次的年名义利率，则每次复利的实际利率为■，其年末累计值为［l+■］＝1+i，故i=1+■■-1或i■=m［（1-i）■-1］。名义利率一定时，年复利次数越多，年实际利率i将越大。注意到年实际贴现率（d）是某时期利息与期末累计值之比。在（t-1，t）的实际贴现率为：
dt=■ （2）
由（1）和（2）可得it-dt＝itdt＞0。复利情形下时间段（t-1，t）内的实际贴现率为：
d=■=■ （3）
（3）是实际利率与实际贴现率间的基本关系。实际贴现率也可以理解为初始本金在当期产生的利息 i 与期末累计值（l+i）之比，在数值上小于实际贴现率。
利息力在期货、期权和其他衍生金融工具定价中的运用较多，也是重要的基本单位。在某些借贷业务中利息力作为计算利息的基本依据。利息力定义为?啄t＝■，其中δt是t时刻的利息力。根据定义，利息力可表示为：
a'（t）＝■＝■■
由利息力与累积函数的公式可知，?啄t＝［lna（t）］'，两边从 0 到 t 积分得：
■?啄xdx=■［lna（t）］'dx=lna（t）-lna（0）=lna（t）
从而 a（t）= e■，该公式表明累计函数可以由利息力和时间长度唯一确定。复利条件下，a（t）=（1+i）t，根据利息力的定义可得?啄t＝ln（1+i），说明复利条件下利息力只与利率i有关，和时间t无关。等价得i=e?啄-1。
三、现金流方程与MATLAB计算
MATLAB中利率函数irr用于计算现金流收益率。指令R=irr（stream）中stream是现金流向量，第一个值是初始投资。
例：设初始投资10，000元，第一年收益1，000元，后四年依次递增1，000元。用MATLAB软件调用irr函数，计算该现金流内部收益率：
>>stream=［-10000，1000，2000，3000，4000，5000］；
>>r=irr（stream）；
>>sprintf（'%2.2f%%'，r*100）；%格式化输内部收益率。
计算得到的内部收益率为12.01%，注意现金流的内部收益率可能不唯一。函数irr计算需要求解一个多项式方程，且方程实根数量取决于系数符号变化的次数。收益率方程为：
■Rt（1+r）-t=0 （8）
方程（8）称为现金流方程，其中Rt为时刻t的现金流，R0为初始时刻的投资额，一般为负数，n为现金流周期长度。利用方程（8）得到的利率r，使得现金流的净现值等于初始投资。如果所有时期的Rt都是正的，那么利率r唯一。我们称向量：
R＝（R0，R1，R2，…，Rn）T （9）
为［0，n］时期内对应的现金流向量。记v＝（1+r）-1为以r对应收益率的贴现因子，称向量V＝（1，v，v2，…，vn）T为贴现向量。那么现金流方程（8）可表述为：
RTV＝（R，V）＝0 （10）
即向量R和V正交。向量V生成的线性空间为Rn+1的一个维数1的子空间。定义向量x=（x1，x2，…，xn）T的符号模式向量sgn（x）=（s1，s2，…，sn）T，其中：
Si=1，if xi＞0-1，if xi＞00，if xi＞0
将方程（8）左边视为v的一个n次多项式，由多项式根与系数的关系，不难得结论：
定理1 现金流方程对应的内部收益率r唯一当且仅当现金流向量R对应的模式向量sgn（R）=（s0，s1，…，sn）满足条件s1，s2，…，sn＝0，1（s0＝ -1）。
运用函数nomrr可计算名义利率。如每月复利9.38%的年利率的名义利率为：
>>apr=nomrr（0.0938，12）
函数fvfix（RATE，NPER，P，PV，DUE）返回系列等额支付的终值。如，储蓄账户的初始余额为2，000元，10年每月月底增加200元，账户每月支付8%的利息。具体指令：
>>f=fvfix（0.08/12，12*10，200，2000，0）；
>>f=vpa（f，7）；
得到f=41028.49。下面的函数pvvar（CF，RATE，DF）返回现金流CF的净现值：
>>pv=pvvar（［-10000，2000，1500，3000，3800，5000］，0.09）；
>>pv=vpa（pv，6）；%返回现金流净现值1355.61元。
因内部收益率净现值为零，npv=pvvar（stream，irr（stream））返回一个接近零的数值。函数pvfix（RATE，NPER，P，FV，DUE）返回一系列等额支付现值。下面的指令：
>>pv=pvfix（0.05/12，5*12，200，0，0）；
>>pv=vpa（pv，7）；%返回pv=10598.14
计算5年期月存200元到年名义利率5%的账户的现值。函数fvvar（CF，RATE，DF）根据利率RATE返回现金流CF的终值。对年利率11%每月支付300元的贷款计算本金：
>>principal=pvfix（0.11 12，4*12，300，0，0）；
>>principal=vpa（principal，7）；
四、一个实例
假设有10种面值和到期偿还值均为1，000元的债券。到期年限、年息票率和价格条件如表1所示。我们通过MATLAB求到期收益率、即期收益率和远期收益率。（表1）
根据表1，运用公式（8），可求出各个不同到期期限债券的到期收益率。（表2）
通过远期利率曲线，在较短的到期期限内，到期期限的增加，远期利率也增加；当到期期限较长时，远期利率出现波动情况，但整体有一个上升的趋势。（图1）
综合比较到期收益率曲线、即期利率曲线和远期利率曲线，远期利率大于相应地到期收益率和即期利率。在实际生活中，也存在远期利率小于即期利率和到期收益率的情况。
（作者单位：苏州科技大学）
主要参考文献：
［1］S.G.Kellison.利息理论［M］.尚汉翼译.上海科学技术出版社，1995.
［2］孟生旺.利息理论及其应用［M］.中国人民大学出版社，2014.
［3］谢仍明.中国利率市场化研究［D］.中国社会科学院，2014.
［4］Bodie，Z.，Kane A，Marcus A.，Investments［M］.1993.
［5］Das Satyajit.Calculating Zero Coupon Rates[M].New York:Irwin Profession Publishing，1994.
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