| 联系我们 |
 |
合作经济与科技杂志社
地址：石家庄市建设南大街21号
邮编：050011
电话：0311-86049879 |
|
|
| 经济/产业 |
［提要］ 通过分析经济数学教学特点，探讨在经济数学中融入建模思想与数学实验的教学改革，提高学生的学习兴趣与理解能力，促进学生数学建模能力的形成。
关键词：数学模型；数学实验；经济数学；教学改革
基金项目：河北省保定市哲学社会科学规划研究项目（项目编号：201103011）
中图分类号：G642 文献标识码：A
收录日期：2012年2月15日
经济发展的全球化，计算机的迅猛发展以及数学理论与方法的不断扩充，使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分。同时，在经济管理问题中进行定量分析也成为必不可少的工具。因此，经济数学的重要性日益显现出来。但是，多年来大学经济数学陈旧的教学内容和落后的教学方式使得该课程的特色未能在教学中得到良好的体现，学生“用数学”的能力也未得到有力的培养与充分发挥。然而，数学建模是以问题为载体，通过对实际问题的解决，培养应用数学知识解决实际问题的意识与能力。可见，将数学建模思想融入经济数学教学中可以激发学生学习数学、探索数学的积极性，培养学生综合应用能力和创新思维。
一、经济数学教学中存在的问题
1、教学内容过于注重题解，缺乏经济应用数学特色。经济应用数学的特色在于融入了现代经济学、管理学等丰富的数学模型思想，利用数学中抽象的符号、数据分析现实生活中实实在在的经济现象。然而，传统的经济数学教材由于充斥了大量对于数学理论的推理演绎、典型例题的分析计算，使之不再具备应有的经济特色，反而成为数学专业教材的精编版。这些因素导致经济数学的教学内容与经济、管理学科严重脱节。
2、教学方法过于注重逻辑推理，学生缺乏自我创新能力。高等数学是一门高度抽象、内容衔接紧密的学科，其较强的逻辑推理性致使逻辑思维相对较弱的经济类学生，在学习中更容易产生厌学情绪。而现今的教学方法又恰恰过于强调概念、定理的推导证明，程式化的推理缺乏对于学生学习兴趣的培养，使学生不能体会数学思维分析过程中的乐趣，虽注重了学生动手操作能力的培养，但也只是局限在典型题型的反复推广。最终使学生在被动的学习中失去了对数学的兴趣以及自我创新的能力，更不用说对知识的系统应用了。
3、理论与实际应用脱节，影响学生综合应用能力的提高。传统的数学教学缺乏实践环节，学生在课上学到的，除了课下可以做题以外，根本无法应用于今后的后续课程，更不要说应用于生活。虽然近年来在编写教材的过程中，融入了一部分具有经济特色的例题分析，但传统的几何、物理上的引例、应用仍然占据着内容的主体，无法突出经济特色，使学生缺乏具体的实践应用机会，从而影响自身综合应用数学能力的提高。
4、师资队伍单一，自身无法做到学以致用。数学教学的师资团队主要以数学专业教师为主，由于缺乏必要的经济学、管理学知识，因此无法做到结合不同专业的不同方向讲解数学的能力，使得教学效果大打折扣。由于无法激发学生的兴趣，滋生了学生对于数学无用论的错误认识，即使那些数学成绩较好的学生，他们对于数学学习的认识也是片面的，有相当一部分认为学习数学完全是为了今后考研及进一步深造的需要。
二、将建模思想融入经济数学教学的实践探讨
数学教育在整个人才培养过程中的重要性是人所共知的，数学的知识和能力不妨简单地概括为“算数学”与“用数学”。前者泛指计算方法、公式推导、定义叙述、定理证明等，后者即以数学为工具分析、解决各种实际问题。数学建模是将抽象的理论知识结构化、形象化、实用化的载体，它以建模思想为贯穿始终的知识主线，使数学知识能够向更深入、更广泛的层面发展。与此同时，数学建模从现实问题出发，经过提炼、归纳，再到最后应用于生活，这一过程完全符合知识产生及应用的全过程，除自身具备较强的针对性外，更能激发学生学习数学的兴趣，并切身体会到数学的实际意义，真正做到学以致用。鉴于经济数学本身所应具备的经济特色，更应以培养学生运用建模思想分析普通经济问题能力为首要目的，因此，在平日的数学教学过程中应尽可能地融入模型思想，取代枯燥乏味的证明推理，以生动的数学实验作为最终结论的验证，从而形成较为完整的“提炼-分析-应用”建模过程。
1、概念教学中注重建模思想的引入。所谓概念教学，狭义上是指将定义的概念贯穿课堂教学始终，通过对于关键字词的分析，明确内容前后的联系，串生出相关解题的方法，突出学习的重点，加之典型例题的对应，知识要点的系统归纳，最终起到良好的教学效果。广义上认为这种教学方法可以推广到包括例题的证明、分析等多方面环节，可以说它是数学教学一直沿用至今的最主要的教学方法。然而，传统的教学引入，总是倾向于几何、物理等典型例题，真正能够体现经济特色的引例则少之又少，因此适当引入简单的经济问题分析，可以有效地兼顾数学本身内容不会缺失的同时，充分发挥应用数学的魅力。
例如，在讲重要极限■（1＋■）■＝e时，以往的教学过程是直接讲解重要极限在解极限问题时的注意事项，或者简单分析证明思路，再配合典型例题分析。这样一来，学生只能将该极限作为一种固定套用的模式，单纯地应用于极限的求解。其实完全可以先展现该极限在经济问题的简单应用，引导学生运用建模思想体验该极限构建的全过程：
（1）问题的提出。复利，又称利滚利。随着商品经济的发展，复利计算日益普遍，同时复利的期限也日益变短，即除了传统的年息、月息以外，还用旬息、日息、甚至半日息表示利息率。如果一个储户连续不断地存款和结算取款，结算本息的频数趋近无穷大，每次结算的本息全部存入银行，这就意味着银行不断地向客户支付利息，这种问题称为连续复利问题。现假设活期年利率为0.06，储户存款10万元，若其可以在一年内任意次结算，若不计算利息税，显然结算次数越多获利越大。但复利的计算会使结算额无限增大吗？随着结算次数的增多，一年后该储户会成为百万富翁吗？
（2）问题的重述。设银行存入本金A，银行复利率为r，分析本利和在一年复利r不变的情况下，分m期结算，t年后的变化规律。
（3）模型的建立
一年后的本利和是：A1＝A（1＋r）；
t年后的本利和是：At＝A（1＋r）t；
如果一年分为两期，每期利率为■，那么t年后的本利和则为A2t=A（1+■）2t；
如果一年分为m期，每期利率为■，那么t年后的本利和则为Amt=A（1+■）mt；
如果计息时间单位无限缩小，即m→∞，那么t年后的本利和则为一个极限：
A（t）=■（1＋■）■
显然，上述问题实为在结算次数m→∞，年限t=1年后本利和，即：
A（1）=■（1＋■）■＝10■（1＋■）■≈10.6184（万元）
储户显然不能变成百万富翁。
（4）模型的改进与推广
将极限变形为：
A（t）=A■（1＋■）■
令n′＝■，则A（t）=A■（1＋■）■＝A■［（1＋n′）■］■，引出重要极限变形式■（1＋ n′）■；若令n＝■，则A（t）=A■［（1＋n′）■］■＝A■［（1＋■）■］■，显然最终本利和的计算取决于极限■（1＋■）■，也就是说，利用复利计息时，在一年（t=1）无限次的结算下只要年利率不大，结果总是稳定的，从而引出重要极限的相关性质。
上述通过简单的模型建立过程，使学生了解了重要极限■（1＋■）■的重要意义，更主要的是在领悟该极限应用的实际意义的同时，领略了实际问题数学化的全过程，尤其是在上述过程中，通过n′与n这两个互为倒数的量的关系转变，可以使学生从实际问题中初步体会■（1＋■）■＝■（1＋n）■＝e重要极限的推广。当然，至于重要极限的结果为什么是e，这一问题可放在应用环节中，由学生自己借助数学软件，亲自验证这一重要结果。
2、应用环节中注重模型的验证。数学的应用环节是将数学思想真正融入实际问题的重要手段。但是长久以来，所谓的教学应用，大都局限于课后作业以及章节后的习题，致使学生感觉学数学就是为了做题而学，完全扭曲了应用数学的含义。
在经济数学教学后期，适当开设验证性数学实验，能够丰富教学手段的同时，激发学生兴趣，提高学生综合运用数学知识解决实际问题的能力。
例如，对于重要极限的教学过程中由于渗透了建模的思想，使学生对于■（1＋■）■在经济中的作用初步了解。但伴随n→∞的同时，（1＋■）■是否会稳定与一个确定的常数？这种变化呈现何种状态？在这个常数作用下，连续复利与单利相比究竟差距有多大？其实这些问题完全可以借助强大的数学软件，通过散点图分析，观察数值变化趋势，最终结合图像得到更加深刻的认识。
例如，引导学生利用Matlab分析计算（1＋■）■，在n→±∞时的变化趋势如表1所示。（表1）分析数据发现，伴随n→±∞，极限值总是稳定于一个常数，所以有理由猜测极限值是存在的，但少数的散点不足以说明极限变化的趋势，或者说在散点之间或者之后，数值是否会存在较大的变化差异？为此可借助Matlab图像处理功能绘制变化的图像或者动画：
xlim（［0，100］）；ylim（［1.4，2.8］）；
for n=1∶100；
y=（1+1./n）.^n；
drawnow
hold on
plot（n，y，'r*'）；
pause（0.01）；
end（图1）
如果需要进一步精确极限值，只需将程序中循环次数适当调整即可。同样利用这一程序片段，可分析验证■（1－■）■的变化，只需将上述片段调整为：
xlim（［0，100］）；ylim（［2.6，3.8］）；
for n=1∶100；
y=（1-1./n）.^（-n）；
drawnow
hold on
plot（n，y，′r*′）；
pause（0.01）；
end（图2）
以此验证重要极限的应用与推广。
为了突出经济数学自身的特色，相关的微积分、概率论与数理统计、线性代数三个分支可以相应地选择不同的侧重以突出自身的实用性。微积分课程实验环节可选用优化模型中“最优库存”问题设置试验，帮助学生复习巩固导数与微分在最优化理论中的应用，提高综合运用数学知识解决实际问题的能力；概率论与数理统计课程的实验环节可选用概率模型中比较简单的“传输系统效率”问题作为进一步加深对随机变量分析随机问题方法的深化；线性代数课程的实验环节自然选择常见的“投入产出模型”作为代数应用的经典实验。除此之外，根据经济院校开设专业不同的特点，密切结合相关专业特色，设计较为实际的问题，辅助学生完成综合设计性试验。例如统计专业，可选择统计模型中“投资额与生产总值和物价指数”问题进行试验，利用Matlab或Mathematica软件进行散点图分析，利用掌握的统计知识建立回归模型，体验真正的数理统计全过程。
三、教学中增设数学实验环节所遇到的问题与对策
在经济数学教学过程中融入数学建模的思想，需要增设数学实验环节作为实现模型的手段。然而，数学实验的开设，在为数学教学带来生机的同时，同样也存在一些问题有待解决。
首先，数学软件的应用能够为学生分析计算带来方便，但也会因此使之忽略了理论的学习，影响自身抽象思维能力以及逻辑推理的数学素质的提高。数学本身的魅力就在于严谨的理论支撑下所展现的强大分析能力，如果过分借助计算机解决大批量计算而忽视对于结果的二次分析，最终会导致学生过分依赖软件实现，失去自我分析的能力。鉴于此，教师在平日的教学过程中仍应该适当强调理论的重要性，在引导学生利用软件解决实际问题时，注重紧扣每一步骤的理论支撑，从而使学生真正做到“知其然”更“知其所以然”。与此同时，对于实验的结果，适当设置余留问题，使学生进行结论的再分析——“模型推广”，在更好地应用于实践的同时，使理论教学与实践教学有效地结合在一起。
其次，由于在教学过程中增设了数学建模思想以及数学实验环节，使得在有限不变的课时局限下，增加了教师的授课、学生学习的负担，加之数学课程毕竟是基础学科，除了应用于相关专业学科以外，还肩负着学生日后考研等进一步深造的任务。因此，教师在教学过程中，对于理论性太强的定理尽量减少繁琐的证明推导，将重心转向证明思想以及数学方法的培养，增加综合例题的分析，减少重复例题的出现，权衡例题与练习题之间的比重，做到“简而精”。与此同时，采取集中分组上机实验的办法，可以提高实验效率，在节约时间的同时，培养了学生团队分工合作的意识，最终达到良好的实验目的。
最后，在整个教学过程中，教师应起到传授理论、引导实践的关键作用，这就要求教师本身对于数学建模思想有着准确的认识，对于学生在整个建模过程的角色有着准确的定位，这些都依赖于教师自身素质的提高。然而，基础课教师普遍承担着全校学生的教学任务，常常因为忙于日常教学工作而忽略对于自身科研、教改等方面综合能力的提高。除此之外，数学教师基本都是数学专业的毕业生，自然对相关诸如经济、管理、统计等专业的知识了解甚少，虽能够组织数学实验有序进行，但涉及其他专业较深层次的问题就无法解决，不利于数学模型向更深的层面推广。因此，数学教师除了要加强自身专业素质提高的同时，还需要增加与其他专业教师的横向联系，增加相关专业间的科研合作，以教学带动科研能力的提高，以科研促进教学方法的改革，使数学更好地应用于实际。
（作者单位：河北金融学院）
主要参考文献：
[1]姜启源.数学实验与数学建模[J].数学的实践与认识，2001.31.5.
[2]韦程东，罗雪晴，程艳琴.在数学分析教学中融入数学建模思想的探索与实践[J].高教论坛，2008.3.
[3]严培胜.将数学建模融入大学数学教学中[J].湖北经济学院学报（人文社会科学版），2010.7.6.
[4]姜启源等.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2003.
[5]赵树嫄.微积分[M].北京：中国人民大学出版，2007. |
|
|
|
