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1.1 持续期的定义
持续期是衡量债券价格对利率变化敏感度的指标，例如，利率上升1％，那么在其它因素不变的情况下，持续期为5年的债券组合的市场价值就会预期下跌5％。麦考利（1938）给出的定义为：每个债券付款到期日的加权平均，权重为现金流量现值与资产价格之比。即：
其中D为持续期，T为到期日，
这里y为到期收益率，ct为t期的现金流量，一般为ct=po×r,其中r为票面利率，一般来说它是预先给定的，另外到期日T也是预先确定，
为债券得市场价格。对持续期可以从下面2个方面理解：首先，持续期作为一个时间概念，即作为一个债券一系列未来收入的平均期限看，它反映了该债券或者债券组合暴露在风险中的时间越长，风险越大；另外，持续期实质上是债券价格的利率弹性。假设有一只5年期，本金为100的债券，其到期收益率为6％，票面利率为5％，其贴现价格(实际价格)为95.79，持续期为4.535。表1给出了到期日都是5年，不同票面利率和到期收益率下持续期和修正持续期。由定义及表1我们可得持续期的以下性质：（1）持续期与票面利率反向变动。票面利率越高，持续期就越短，因为更多得现金流以利息偿付形式收回；（2）持续期与距到期日时间同向变动，其它条件不变时候，距到期日越长，持续期越大；（3）持续期与到期收益率反方向变动。
1.2 修正持续期
麦考利持续期只有当到期收益率“平行”或者只有少量变化时才能严格有效的测量风险，而这在市场显然站不住脚的，雷丁顿（1953）年引入了修正持续期。其定义为：
D＊=－D/(1＋Y) 式1.4
由式（1.3），对y求导得：
所以有
修正持续期度量得是给定到期收益率水平，债券价格变动的百分比。例如在上例中，其修正持续期为：－4.535/(1＋0.06)=－4.278。由式（1.6）得：
dp=p×dy×D＊ 式1.7
价格变动是到期收益率变动得线性函数所以我们可以用修正持续期来计算当到期收益率变化时债券价格得变化。当到期收益率为0.05％时，债券价格应该为100，我们用修正持续期计算的价格变化为：－0.01×（－4.278）×95.788=4.098，所以债券价格为95.788＋4.098=99.886，其差距为0.114。当到期收益率增加1％时，债券的实际价格为91.80，用修正持续期计算的价格为95.788－4.098=91.69，其差距也仅仅为0.11，拟合效果相当好。
1.3 持续期与风险
由式（1.6）有：dp/p=－D＊dy，所以，σ(dp/p)=D＊σ(dy),其中σ(x)为波动函数。
另外，因为持续期度量的是线性风险，所以债券组合的持续期是单个债券持续期的加权和。用持续期计算风险价值（VaR）就显得特别方便。一只股票的VaR=持续期债券的价值收益的最大增加率，其中收益最大增加率为在一定置信水平下的最大收益增加率。
用修正持续期预测的价格变化结果实际只是实际价格受到期收益率影响变动的近似值，当到期收益率变动较小时，这个方法近似结果很好，但是当到期收益率变动较大，就会出现很大的误差。式（1.7）只是价格变动的一阶近似，为了更精确的预测价格，还需要引入二次项，也就是下面的凸性。
2.1 凸性
引入凸性是为了改进单独由持续期导出的近似值的偏差。凸性描绘当收益率变化时持续期的变化情况。从数学角度看，凸性修正项就是泰勒级数展开式的第二项，忽略2阶以上的变化得：
凸性定义为 （2.2）
所以
dp=p(y)×D＊×△y＋p(y)×C×△y2 （2.3）
由式子（1.3）知道
我们仍然考虑一只本金为100，到期收益率为6％，票面利率为5％的5年期债券，其凸性为26.30。所以，到期收益率增加0.01，凸性效应为0.5×0.012×26.30=0.001315，引入凸性后计算的债券价格为99.886＋0.001315=99.887，与实际价格相差为0.113；当到期收益率减少0.01，估计价格为91.69＋0.001315=91.691，与实际价格相差为0.108。可见，引入凸性改进了价格的估计。
2.2 凸性的性质
由表1以及式子（2.4）：我们有凸性的以下性质：第一，持续期与票面利率以及到期收益率都成反比；第二，凸性弥补了持续期假设的债券价格的变化与利率变化成线性比例关系的不合理性，反映了债券的利率弹性也会随利率变化而变化的事实，它与持续期结合能更准确地反映利率风险状况；第三，在2.1中我们发现，持续期预测的价格，在利率上升时高估了价格的下降，当利率下降时则低估了价格上升（因为预测价格都比实际价格小）。因为凸性时正的，它暗示了债券价格上升比线性近似快，而下降比线性近似慢，凸性越大，近似就越好。那么凸性就像期权的波动性，也有自己的价值。凸性越大，债券的需求量就越大，如果预计收益率比较稳定，凸性也就没有什么价值了。
2.3 凸性与VaR
引入凸性后，VaR的计算为：VaR=组合的实际市场价值×（D＊×△y＋0.5C×△y2)。其中，D为修正持续期，C为凸性，△y为给定置信水平下的最大收益率波动。
从2.1知，凸性的引入提高了价格变化的预测精度，凸性的另外一个较好的特性和持续期类似，即固定收入组合的凸性等于组合各组成部分的凸性的加权平均。在VaR计算中，凸性的引入也提高了其精度。
3 结论
通过分析,我们发现持续期和凸性的优良性质以及其对风险管理的极大改进，但在实际应用中应该特别注意其局限性。另外由于修正持续期要比持续期性质优良，所以我们通常说的持续期是指修正持续期。持续期的计算是在假设收益率曲线平坦的，即使发生利率变化，收益率曲线也只会发生平移，因此，长期利率与短期利率是相等的。而实际上利率曲线通常是向上倾斜的。另外，持续期不能应用于可赎回债券。(□文/许启刚) |
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