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［提要］ 本文提出了一种基于核主成分分析（KPCA）的工程综合评价模型。对比主成分分析（PCA）的评价结果，KPCA提取的第一个核主成分就能达到90%以上，避免了PCA中因各指标贡献率过于分散而影响评价效果，实例分析表明，该综合评价模型更加客观。
关键词：核主成分分析；工程评标；综合测评
中图分类号：F27 文献标识码：A
收录日期：2013年4月11日
一、引言
我国工程建设已普遍实行了招投标制度，评标工作是摆在决策者面前的首要问题。评标方法是评标的标准和依据，是影响中标结果是否合理的关键因素之一。如何建立更加公平、客观的评标综合评价方法，已越来越成为工程建设界所关心的问题。目前，传统评标方法多采用加权求和法，此方法虽然操作方便，易于理解，但存在简单加权求和引起的决策制均一化的缺陷，且实际运用中权重的确定也比较随意。陈涛运用主成分分析法建立了工程评标综合评价模型，对权重的选取进行了改进，但PCA指标贡献率过于分散，仍未摆脱加权平均化的倾向。本文运用核主成分分析法建立工程评标综合评价模型，使得提取的第一核主成分就能达到90%以上，有效地避免了指标贡献率分散问题。
二、核主成分分析（KPCA）模型
（一）模型原理。KPCA方法是在主成分分析的基础上提出的。主成分分析是一种较好的特征提取技术，但它是一个线性技术，对于原始空间的非线性问题PCA无法提取，这需要将原始数据通过非线性变换映射到一个高维的非线性向量空间，然后在变换后的高维空间进行线性的特征提取，这就引入了KPCA方法。
KPCA的基本思想是将核方法应用到主成分分析中，通过非线性变换函数?椎将原始变量映射到特征空间F，即输入空间样本点X1，X2，…，Xn，变换为特征空间的样本点?椎（X1），?椎（X2），…，?椎（Xn），在F中进行PCA。具体原理为：X是原始空间样本，通过映射函数满足X→?椎（X）∈F，F是特征空间。若训练集合中有n个样本点，原始空间中的两个样本Xi和Xj在空间的距离，用他们的内积?椎（Xi）•?椎（Xj）表示，定义核函数为K（Xi，Xj）＝?椎（Xi）•?椎（Xj），称为K矩阵。假设特征空间F中的样本?椎（X1），?椎（X2），…，?椎（Xn）已经中心化，即■?椎（Xk）=0。在特征空间F中进行线性主成分分析，通过计算协方差矩阵C=■■?椎（Xi）?椎（Xi）T，求得C的特征值?姿（≥0）及相应的特征向量V∈F，满足?姿V＝CV。由于V∈span｛?椎（X1），?椎（X2），…，?椎（Xn）｝，则存在一组系数?琢1，?琢2，…，?琢n使得：V＝■?琢j?椎（xj） （1）
因此，?姿V＝CV等价于?姿（?椎（Xk）•V）＝（?椎（Xk）•CV），k＝1，2，…，n （2）
通过定义一个n×n的核矩阵Kij=（?椎（Xi）•?椎（Xj））＝K（Xi，Xj），（2）式可以写为：n?姿?琢=K?琢 （3）
因此，确定特征向量V而求取系数?琢j（j＝1，2，…，n）的问题就仅依赖于核矩阵K的特征分解。
令■=n?姿，则为■■≥■■≥…■■为核矩阵K的特征值，?琢1，?琢2，…，?琢n为相应的特征向量，将?琢1，?琢2，…，?琢n进行归一化，需要将F空间的向量归一化，即（Vk•Vk）＝1，k=1，…，n，利用（1）式、（3）式得到?琢1，?琢2，…，?琢n归一化的条件：
1=■?琢i■?琢j■（?椎（Xi）•?椎（Xj））
=■?琢i■?琢j■K=?琢■•K?琢■=?姿■?琢■?琢■，即?琢■的模为1■。而为了放宽■?椎（Xk）=0的假设，只需将核矩阵调整为：■=K-I■K-KI■n+I■nKIn，其中（In）ij=1/n。
（二）基于KPCA算法的综合评价模型基本步骤
1、选择合适的核参数，常见的核函数有：
多项式核函数：K（x，y）＝［a（x•y+c）d］；
高斯（径向基）核函数：K（x，y）＝exp（－■）；
神经网络核函数：K（x，y）＝tanh［a（x•y）+c］，等等。
2、对给定的训练样本X1，X2，…，Xn，定义一个n×n的核矩阵K=［K（xi，xj）］计算■=K-InK-KIn+InKIn，其中（In）ij=1/n，n为训练样本个数。
3、对样本中心化的核矩阵■进行特征分解，■?琢=■?琢，其中■（＝n?姿）为■的特征值，?琢为相应的特征向量。
4、归一化特征空间F中的特征向量V，?琢■■?琢■＝1■■，即取?琢的模为1■，k=1，2，…，n。
5、确定特征空间的维数p，p的值为满足下式的最小值：
■≥0.90
6、计算测试样本点的主成分，即计算投影：（V■•?椎（x））■?琢■■K（x■，x）。
三、实例分析
以文献9中的某建设工程项目投标资料为例，选取了14个承包商的8个主要工程评标指标，如表1所示。（表1）
如表2所示，采用PCA的前4个特征值的累计贡献率84.44%。（表2）本文KPCA选用多项式核函数K（x，y）＝（（x•y）+1）d，取核参数d=23，所提取的第一核主成分为93.79%，可见采用第一个核主成分即表3所示。本例不适合用高斯核函数，因为采用高斯核函数K（x，y）＝exp（－■），无论参数取何值，所提取的第一核主成分贡献率低于60%。
由KPCA求出每个承包商的综合得分以及排序如表4所示，并与PCA综合得分和综合排名进行对比。发现两种方法评标结果有很大出入，而KPCA评价结果更符合实际情况。（表4）
四、结论
本文利用核主成分分析评标方法，对某建设工程的14个承包商进行了评比。对比主成分分析评标方法，结果发现两种方法的评标结果有很大出入，而核主成分分析评标结果更加合理。这也表明PCA会因各指标贡献率过于分散而影响评价效果，而KPCA由于提取的第一个主成分即可满足要求，从而避免了这一点。
一般情况下，由于工程投标指标比较复杂，各指标间很可能存在非线性关系，而KPCA能有效地处理非线性关系，因此采用KPCA方法评价优于PCA，可以更科学地提供工程评标决策。
（作者单位：河北联合大学理学院）
主要参考文献：
［1］陈涛.基于主成分分析的工程评标综合评价模型［J］.武汉大学学报，2005.
［2］徐义田，王来生，崔文善，张好治.核主成分分析（KPCA）在企业效益评价中的应用［J］.数学的实践与认识，2006.
［3］陈祥涛，张前进.基于核主成分分析的步态识别方法［J］.计算机应用，2011.
［4］赵丽红，孙宇舸，蔡玉等.基于核主成分分析的人脸识别［J］.东北大学学报（自然科学版），2006.
［5］SCHOLKOPF B，SMOLA A，MULLER K R.Nonlinear component analysis as a kernel eigenvalue problem［J］.Neural computation，1998.
［6］Baudat G，Anouar F.Feature vector selection and projection using Kernels［J］.Neurocomputing，2003.
［7］刘嵩，罗敏，张国平.基于对称核主成分分析的人脸识别［J］.计算机应用，2012.
［8］屠珺，王明军，周俊，李彦明，刘成良.基于贝叶斯核主成分的远距离地形标记方法［J］.机器人，2012.
［9］李青山.对建设项目承包商综合评定的多元统计分析方法［J］.交通世界，2010. |
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