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随着我国证券市场的不断发展，股票现在已经成为人们生活中不可缺少的一部分了，风险资产的管理也自然成为投资者非常关心的问题。通过组合投资实现股票的收益和风险的均衡变得越来越重要,Markowitz提出的证券投资模型解决了怎样组合股票来均衡收益和风险。在进行组合投资前首先要涉及到股票的选择问题，即需要从很多股票中选出部分股票以便进行组合投资。随机占优法就是对股票进行筛选的一种方法。
本文是根据Haim Levy总结的包含无风险资产的随机占优(Stochastic Dominance with a Riskless Asset简称SDR)准则进行股票筛选,并与未包含无风险资产的随机占优(Stochastic Dominance简称SD)准则进行股票筛选的结果进行比较。主要是针对常用的二阶随机占优准则进行讨论。
一、随机占优准则
随机占优理论是在20世纪60年代至70年代发表的几篇论文的基础上建立的，此后，对它的理论和实证研究十分活跃。Levy和Kroll建立了SDR准则，进一步丰富和发展了随机占优理论。它在金融、统计等领域已经被广泛应用。
风险市场上的证券的回报率，是随机变量，随机占优法是在一定条件下对随机变量表示的证券作比较的一种方法。这一理论是建筑在Von Neumann和 Morgenstern的期望效用理论基础上的，期望效用与随机占优有着密切的关系。虽然期望效用理论面临着许多挑战，但它仍是风险条件下投资决策不可替代的理论基础。期望效用理论是关于不确定性决策的规范理论，它的一个最基本的假设就是每个人会使自己的期望效用最大化。随机占优准则是根据投资者风险偏好的部分信息（如风险厌恶）对风险资产进行部分排序，将资产分为有效集和无效集。
在下述讨论中，我们用分位数函数来陈述随机占优准则。当分布函数连续且单调时，分位数函数Q（P）是分布函数的反函数，Q（P）等于累积概率为P时对应的收益率。但在实际应用中得到的数据的分布是阶梯分布，所以在应用中Q（P）表示每一阶梯对应的分位数。F和G分别表示两种不同的投资资产，也表示两种资产的收益率对应的累积概率密度，QF（P）与QG（P）表示两种资产对应的分位数函数。
(一)未包含无风险资产的随机占优(SD)准则
一阶随机占优(FSD)准则：假设效用函数U非递减，当且仅当资产收益率的累积概率P（0≤P≤1）的所有取值满足:
QF（P）≥QG（P）
且至少有一点P0使不等式严格成立时，F一阶占优G（FD1G）。
二阶随机占优SSD)准则：假设U'≥0且U满足风险厌恶假设U''≤0，当且仅当资产收益率的累积概率P(0≤P≤1)的所有取值满足
且至少有一点P0使不等式严格成立时，F二阶占优G(FD2G)。
(二)包含无风险资产的随机占优(SDR)准则
一阶随机占优(FSDR)准则:F(r)=PF(x≤r),其中r为无风险利率。当且仅当
[QG(P)－r]/[QF(P)－r]
在0≤P<F(r)时的下确界不小于它在F(r)<P≤1时的上确界时，F一阶占优G(FDr1G)。
二阶随机占优(SSDR)准则:当且仅当
在0≤P<P0时的下确界不小于它在P0<P≤1时的上确界时，F二阶占优G（FDr2G），其中P0满足以下等式：
(三)两种准则之间的联系
SDR准则是在SD准则的基础上发展的。Haim Levy将无风险资产引入随机占优，提出了SDR准则，进一步发展了随机占优法的应用。用x、y表示风险资产F与G的收益率,r表示无风险利率，xa=(1－a)r＋ax(a>0)，Fa表示风险资产F与无风险资产r的组合。yβ=(1－β)r＋βy(β>0)，Gβ表示风险资产G与无风险资产的组合。如果Fa在SD准则下占优于Gβ（FaDGβ），则F在SDR准则下占优于G（FDrG）。当a=β=1时，FDrG等价于FDG，所以FDG是FDrG的特殊情况。由此可看出：由FDG可得到FDrG，FDG是FDrG的充分条件；两种资产即使在SD准则下互不占优，在SDR准则下一种资产却可能会被另一种资产占优。例如，两种资产F、G的收益率累积概率分布如下:
令a=0.5、r=4％，建立一资产组合Fa，则P(xa)=0.5时,xa=0＋0.5×4=2,P(xa)=1时，xa=14×0.5＋4×0.5=9。
由以上数据画出F、G、Fa的分位数分布Q(P)，如下图：
如图所示，F的最小收益率小于G的最小收益率，所以FD2G的一个必要条件，即左尾条件不成立，在SSD准则下F不占优于G。但Fa的最小收益率大于G的最小收益率，满足FaD2G的必要条件，而且满足
所以FaD2G，即FDr2G。
二、二阶随机占优准则的应用
（一）样本数据说明
在随机占优准则的实证研究中，因为无法得到投资资产收益的连续分布，只能采用离散分布的形式进行分析。本文是根据股票收益率的离散分布用SSDR准则对上证、深证金融板块的4只股票进行部分排序得出有效集。投资者会选择有效集中的股票进行组合投资来降低风险。
历史数据取每月末的收盘价，时间范围为2003年1月末至2004年1月末，共形成13个月的数据，根据Rit=(Pit－Pi(t－1))/Pi(t－1）算出第i支股票在第t月的收益率，Pit为第i支股票第t月的收盘价。共得到12个月收益率，收益率累积概率分布为t/12。
（二）SSDR准则的应用
首先，根据历史数据用Excel算出每只股票的收益率分布。
下面根据基金金泰、浦发银行、民生银行和招商银行4只股票的月收益率进行分析。先将每股收益率按从小到大的顺序进行排序，再根据Levy和Kroll提出的SSDR准则进行相应的计算。
令基金金泰、浦发银行、民生银行和招商银行分别为第1、2、3、4支股票，Yi,j=Xi,j－r，其中Xi,j是第i支股票的第j个观测值，r为无风险利率，以下计算中令r=0.01，即Yi,j=Xi,j－0.01；令
第一步，先计算各支股票的y值；
第二步，计算各支股票的y'值及y'2,j/y'4,j的值。如表1所示
由表1可看出：：Y'1,12<0，Y'3,12<0。因为第1、3支股票的均值低于r,而且根据SSD准则它们被r占优，又由于SSD准则是SSDR准则的特殊情况，所以根据SSDR准则它们也被r占优。因此，它们应被归入无效集。下面只需比较第2、4支股票。
第三步，由表1可得：y'2,11<0，y'2,12>0；y'4,11<0，y'4,12>0。由y'2,11＋(q0－11/12)×y2,12=0及y'4,11＋(q1－11/12)×y4,12=0得：
q0=－y'2,11/y2,12＋11/12
q1=－y'4,11/y4,12＋11/12
因为第4支股票在SSDR准则下占优于第2支股票的必要条件为q1<q0，
q0=－y'2,11/y2,12
=0.13444/0.149641=0.8984且
q1=－y'4,11/y4,12
=0.11295/0.192335=0.58727，
所以q1<q0，即第4支股票在SSDR准则下占优于第2支股票的必要条件成立。又由表1知M=y'2,j/y'4,j在j≤11时的最小值1.092944大于j>11的最大值0.191514。由此可得，在SSDR准则下招商银行这支股票属于有效集。
为了和SSD准则比较，下面再看一下在SSD准则下得到什么样的结果。
算出各支股票的x'值。如表2
由表2可以看出：x'4j总大于x'2j和x'3j，部分x'4j大于x'1j。据SSD准则，第4支股票占优于第2、3支，第4支和第1支互不占优。则在SSD准则下得到的有效集为第1、4支股票。
从以上结果可以看出，在SSDR准则下得到的有效集是在SSD准则下得到的有效集的一部分。而有效集越小对决策越有利，所以SSDR准则的应用更有利于投资者进行投资决策。
三、结束语
在证券市场上进行投资决策时需要对多只股票进行筛选，文中依据SSDR准则，从效用的角度对股票进行筛选得出资产有效集，且对SSDR准则和SSD准则下的实证结果进行比较，从而得出SDR准则比SD准则更有效的结论，因此将SDR准则用于实际决策具有很重要的意义。然而，在SDR准则的应用中，无风险利率的选取会影响有效集的大小，它的选取根据具体情况来定。(□文/张秋菊) |
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