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［提要］ 根据重庆市耕地利用统计数据，将灰色系统理论GM（1，1）模型与马尔科夫模型结合，运用改进后的灰色马尔科夫模型对研究区未来的耕地利用变化趋势进行预测，并提出建议。
关键词：灰色系统；马尔科夫模型；土地利用；重庆市
中图分类号：F32 文献标识码：A
原标题：基于灰色马尔科夫模型的重庆市耕地利用变化趋势预测
收录日期：2014年3月3日
为保护国家18亿亩耕地红线，确保粮食安全，促进国民经济健康、稳定、持续发展，实现规划年耕地保有量等指标的科学合理预测是土地利用规划的重要内容。基于耕地保护思想的预测一般是采用线性回归模型、指数平滑法和模糊预测等预测方法，前两者是单纯对时间序列数据进行单纯的数据处理，而没有考虑到自然和社会经济发展水平等因素对土地总量影响的后效性，因此具有一定的局限性；后者将众多的影响因素综合起来，通过各因素对土地需求量的影响权重进行模糊预测，此方法的局限性在于影响土地需求的因素在不断变化中，权重的大小也应该不断变化，因此这种方法不适合做长期的预测。如何有效地运用方法模型，合理预测各类用地的规模，为土地利用规划提供依据，是目前需要研究的课题。笔者将灰色GM（1，1）模型与马尔柯夫模型进行结合，既发挥了灰色系统对时间序列模型所需数据量较少、预测结果精度较高的优势，又利用了马尔科夫模型对波动性较大的数据预测精确的特点。该模型对重庆市耕地利用变化进行预测，提高了预测精度，为相关部门合理确定耕地保有量以及土地利用规划工作提供决策依据。
一、灰色马尔科夫模型的建立
改进算法的灰色马尔科夫模型的思路是：先建立灰色GM（1，1）模型，根据改进的算法，得出预测曲线。再以预测曲线为基准，划分若干个状态区间，再根据落入各状态区间的点及其发展趋势，计算出马尔科夫的状态转移概率矩阵，从而得出预测年份的值所处的区间，取区间的中点作为预测值，从而提高精度。
（一）改进的GM（1，1）模型
1、灰色GM（1，1）模型。灰色GM（1，1）模型是单变量的一阶线性模型，它是运用预测对象自身的时间序列数据建立模型，分析其变化的规律性。灰色系统理论把受众多因素影响而又无法确定其复杂关系的量，称为灰色量。对灰色量进行预测是从自身的时间序列中寻找有用信息建立模型，发现内在规律，进行预测。
2、改进的GM（1，1）模型。改进算法的灰色GM （1，1）模型是不对原始序列进行累加，而是直接对原始数据序列建立一阶微分方程：
■+ax（t）=b （1）
将t换成（t+1）代入并与原式做算术平均，得到：
a-■［x（t+1）+x（t）］+u
=■［x′（t+1）+x′（t）］≈△x（t） （2）
记：A＝［a，b］T，用最小二乘法估计出系数矩阵，有A=（BTB）-1•（BTY）。
其中：
B＝-■［x（0）+x（1）］ 1-■［x（1）+x（2）］ 1-■［x（2）+x（3）］ 1… …-■［x（n-1）+x（n）］ 1 （3）
Y＝［△x（0），△x（1），△x（2），…，△x（n-1）］T （4）
有了a，b的值之后，就可以带入建立的一阶微分方程（3），在通过变换和积分，可以得出预测函数：
x（t）＝x（0）－■e-at+■ （5）
（二）马尔科夫模型
1、马尔科夫模型。马尔科夫模型是利用变量的现在状态和变化趋势去预测规划年的值。当系统由定义状态的变量所取的值来描述时，称系统处于一个状态。如果系统的描述量发生改变，从一个状态的特征值转移到另一个状态的特征值时，则称系统发生了状态的转移。估算未来的数值主要通过确定转移概率矩阵，计算出状态转移概率矩阵后，再根据现在时刻事物所处的状态，计算出未来事物所处的状态。
2、马尔科夫修正。以预测曲线为基准，结合每年的具体数值，划分成若干个与预测曲线平行的状态区间，各状态区间都是下含上不含。
Qi=［Q1i，Q2i］ （6）
式中：Q1i＝x（t）+Ai；Q2i=x（t）+Bi（Ai=ai■，Bi＝bi■，■为原始数据的均值）。
状态转移概率矩阵的计算。计算状态转移概率矩阵的公式是：
Pij（k）=nij（k）/ni （7）
有状态Ei经过k步转移到Ej的次数记为nij（k），状态为Ei出现的次数为ni。
得到状态转移概率矩阵：
P（k）＝P11k P12k … P1mkP21k P22k … P2mk… … … …Pm1k Pm2k … Pmmk （8）
状态转移概率矩阵反映了系统内部各状态之间的转移规律，通过状态转移概率矩阵和初始状态，就可以确定未来的发展趋势。
预测值的计算。根据现状数据以及所确定的状态转移概率矩阵，就可以得出未来的状态，也就确定了预测值的变动区间［Q1i，Q2i］，取该区间的中点作为预测值。由Q1i＝x（t）+Ai，Q2i=x（t）+Bi得到：
y=x（t）+■ （9）
二、实证分析
（一）耕地利用GM（1，1）预测。重庆市2002～2009年耕地利用变化状况如表1所示。（表1）2002～2009年重庆高速发展的8年间，耕地面积从2002年的246.58万公顷减少至2009年的223.76万公顷，耕地减22.82万公顷，年均减少耕地2.85万公顷。
本文运用灰色GM（1，1）模型和马尔科夫模型相结合的方法对未来耕地规模进行预测，对时间序列上的耕地规模建立灰色GM（1，1）模型，计算得到a=0.007252，b=234.045247。
预测曲线为：
x（t）＝［246.58-32273.2001］e－0.007252t+32273.2001 （10）
根据灰色预测方程（10），计算出2003～2009年度的预测值，拟合结果验证如表2所示。（表2）
（二）耕地马尔科夫转移矩阵的获得。根据马尔科夫分析方法的应用经验和实际情况，按照年耕地变化趋势的增幅与灰色预测结论，将其划分为5个状态区间：
状态1：呈现极度的高估状态，即：相对误差小于-10‰。从表2中可见，在7年（2003～2009年）中没有出现过这种状态。
状态2：呈现高估状态，即：相对误差小于-5‰大于-10‰。在7年中有两年（2005年、2006年）呈现这种状态。
状态3：评估较为准确，即：相对误差在 -5‰～5‰之间，也称为正常状态，在7年之中有四年（2004年、2007年、2008年、2009年）呈现这种状态。
状态4：呈现低估状态，即：相对误差在 5‰～10‰之间。在7年中，有一年（2003年）呈现出这种状态。
状态5：呈现极度的低估状态，即相对误差大于10‰。在7年（2003～2009年）中没有出现过这种状态。
从以上分类中可以获得2002～2009年的状态转移情况，如表3所示。（表3）
从而可以计算出一步转移矩阵：
P＝■
根据马尔科夫预测原理，得到原始数据之后若干年（2010～2020年）的预测状态向量如表4所示。（表4）
（三）GM（1，1）预测结果的马尔科夫改进。依据前面的分析，我们根据耕地灰色预测结果的马尔科夫状态向量，对预测结果进行改进，见表5。（表5）
由表5计算结果可知，预测2010～2020年的情况处于状态Q3的概率分别是0.5000、0.6250、0.5625、0.5782、0.5703、0.5723、0.5713、0.5716、0.5714、0.5715、0.5713，其概率均高于状态Q2和Q4，预测精度可信。马尔科夫改进结果并不给出具体的预测值，而是给出预测值的范围，同时给出落入该范围的概率。
三、结论
（一）通过上面的灰色GM（1，1）模型预测和马尔科夫的改进，得出未来2010～2020年的重庆市耕地利用面积，见表6。（表6）
（二）对影响因素较多、较复杂且有一定波动性的耕地进行预测，改进算法的灰色马尔科夫模型的预测精度更高，拟合程度更好，预测所得的数据更为准确，可用于土地利用总体规划的预测数据。
（三）改进算法的灰色马尔科夫模型预测方法结果表明，重庆市未来耕地利用变化趋势是：若继续保持2010～2020年的变化趋势和速度，在未来10年内，耕地面积将持续减少，而需求量不断增加，这对国家粮食安全造成更大的压力。根据重庆市土地利用总体规划（2006～2020），到2020年，全市耕地保有量不低于217.07万公顷。然而，据灰色马尔科夫模型预测2020年的耕地减少到204.57万公顷。因此，建议合理配置土地资源，科学规划土地配置结构，实行合理的土地整治和整理项目，加大耕地保护力度。
（作者单位：四川农业大学经济管理学院）
主要参考文献：
［1］陈有孝，林晓言.灰色马尔可夫链改进的预测方法［J］.统计与决策，2005.8.
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［3］邓聚龙.灰预测与灰决策［M］.武汉.华中科技大学出版社，2002.
［4］邵静，王利超，刘新平.灰色马尔科夫模型及其应用［J］.纺织高校基础科学学报，2009.22.3.
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［10］戴淼，向亚丽.灰色马尔可夫模型的建设用地预测［J］.国土资源科技管理，2007.24.4. |
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