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［提要］ 本文研究具有加法的随机需求的报童模型中，随机需求不确定性对于最优决策和平均利润的影响。
关键词：报童；定价；需求不确定性；随机比较
中图分类号：F724 文献标识码：A
收录日期：2015年7月10日
一、引言
零售商从事各种各样的活动改进需求，如销售点显示：忠诚奖励计划与销售激励计划，等等。然而，一个有趣的问题是：如果由于某些活动改进需求使市场需求随机较大，这些努力能否增加零售商的订货量？如果零售商价格制定者，然后对上述问题的答案是不清楚：零售商等购的数量可能更多，持平，或更少。这一结果直观上很容易理解。随着市场的不断扩大，零售商可以设定一个更高的价格来获得更高的单位利润的在订货时降低库存风险。
各种销售的努力可能会提高市场的需求，一些公司努力减少需求的不确定性。另一个有趣的问题就产生了：一个公司应该为更多或更少的价格高于或低于如果减少需求的不确定性？因此，这是本文的第二个动机。
具体而言，我们考虑一个单周期库存的定价问题，报童需要决定订单数量的单一产品和销售价格的随机实现之前，价格敏感的需求。报童定价模型中加法和乘法需求是两种常用的模型，乘法需求模型表示确定的产品需求依赖价格函数和随机扰动，这个分支通常不考虑供应的不确定性（请参考Yao等，2006）。
我们主要考虑需求不确定性（或随机性）的加法模型，销售的努力可能通过影响需求的随机性，提高预测的准确性或可能影响的随机性的大小。
二、基本记号和预备
我们研究内部生产模型，给出了随机比较一些结果。本文模型中，我们假设公司应急供应选择好的公司。如果需求不满足，那么相关的成本单位销售价格p。如果需求被紧急购买满足，那么相关的成本是e。如果p>e，那么是企业有较好的应急供应存在。本文中，我们假设零售商的最优价格P*。如果这个假设不满足，那么公司就没有行使紧急购买选择权动机，因此问题成为一个失去的销售模式。在这种情况下，本文还大多数的结果成立。此外，该模型可以被看作是一个双源模型的特殊情况：一个是随机产量不可靠的来源但有较低单位成本c（订单在销售季节之前），另一个来源可靠，具有较高的单位成本E（如果真实需求超过最初的订单数量）。该模型是不同于传统的双/多个源模型如Burke等人（2007）。令D（p，δ）表示具有单位销售价格p和市场扰动δ的随机需求函数，并且p和δ相互独立。先前的文章集中于乘积模型，我们集中在加法模型。对于这一模型，需求函数表示如下：
D（p，δ）=d（p）+δ
这里δ定义在［Lδ，Uδ］上，（Uδ>Lδ>0）和E［δ］=λ。因此，E［D（p，δ）］=d（p）+λ。我们假设d（p）是连续的严格递减的非负的函数并且二阶微分函数定义在［c，p］上，这里p是最大的可接受价格我们假设对所有的p<p，d（p）+Lδ=0。
在进入本文的主要研究之前，我们首先回顾与本文研究密切相关的随机序概念。为了方便，记随机变量Xi的分布函数和密度函数分别为F（x）和f（x），剩余分布函数F（x）=1-F（x）。
定义1.1 令Xi，i=1，2，表示两个随机变量，分别具有分布函数Fi（t）=P（Xi<t），i=1，2
（1）如果分布函数F2（t）<F1（t），则称在普通随机序下X2比 X1大（表示为X2>stX1）；
（2）如果分布函数Fi（x），i=1，2，■F1（x）dx≤■F2（x）dx，那么在凸序下X2比X1大（表示为X2>cvX1）。
三、主要结果
本文中，我们考虑生产误差和的结构（见M.Xu，Y.Lu，2013）可接受的定购数量q具有随机扰动ε，Eε=μ，即q+ε。对于和的生产结构，生产误差可导致某些管理误差或某些不被总的生产或订购数量影响的因素，不失一般性，我们假设–q≤Lε≤ε≤Uε具有Lε≤0和Uε≥0。
内部生产模型公司的期望利润是具有投入数量q和单位销售价格p的函数如下：
π（q，p）=pEδ［D（p，δ）］+sEε，δ［（q+ε-D（p，δ））+］-eEε，δ［（D（p，δ）-q-ε）+］-cq=（p-e）Eδ［D（p，δ）］-（e-s）Eε，δ［（q+ε-D（p，δ））+］+（e-c）q+eμ
令F（x），f（x）和G（x），g（x）分别是δ和ε的分布函数和密度函数，其期望利润函数表达式：
π（q，p）=（p-e）（d（p）+?姿）?鄄（e-s））■■F（x）dxdG（u）+（e-c）q+eμ （1）
对于等式（1），关于p微分π（q，p）得：
■=d′（p）［（p-e）+（e-s）■F（q+u-d（p））dG（u）］+d（p）+?姿 （2）
对于给定的价格p，下面的定理给出了最优数量。
定理1 若eμ>c，对任意给定的p，则π（q，p）关于q是凹的，并且最优数量q*（p）满足：
■=■F（q+u-d（p））dG（u） （3）
证明 对于（1），关于q求一阶、二阶微分可得：
■=（e-s）■F（q+u-d（p））dG（u）+（e-c），■=－（e-s）■f（q+u-d（p））dG（u）<0，π（p，q），对任意的p关于q是凹的，因此对任意的p，最优订购数量q*（p）满足：
■=■F（q+u-d（p））dG（u），证明完成。
注：不失一般性，在这篇文章其他部分，内部生产模型中我们总假设eμ>c。
接下来的定理表明最优定价的唯一性。
定理2 若函数d（p）是对数凸的，则π（q*，p）是关于p的凹函数，因此存在唯一的最大值π（q*，p）。
证明 π（q*，p）关于p，是凹的，仅需要证明：
■dπ（q*，p）/dp=0<0。据（2），可得dπ（q*，p）/dp=0。
－■＝（p-e）+（e-s）■F（qu-d（p））dG（u）
依据假设对数凸的性质■>0，进一步暗示d″（p）（d（p）+λ）-［d′（p）］2>0。因此，据（3），可得到：
■＝d″（p）［（p-e）+（e-s）］■F（q*+u-d（p））dG（u）+2d（p）-（e-s）［d′（p）］2■f（q*+u-d（p））dG（u）
＝■+d′（p）-（e-s）［d′（p）］2■F（q*+u-d（p））dG（u）<0，这里不等式依据（3），证明完成。
很多需求函数具有对数凸性，例如反比例函数d（p）=a+b/p （a，b>0），负幂函数d（p）=ap-b（a>0，b>1）和指数函数d（p）=aeb/p （a，b>0）。
对于给定价格p，在普通随机序下，较大的和的随机需求将导致比较低的生产数量。
定理3 对任意给定的可能价格p，若δ1>stδ2，则q*1（p）> q*2（p）。
证明 因δ1>stδ2，暗示F2（x）>F1（x），接下来依据等式（3）：
■F1（q*1+u-d（p））dG（u）＝■F2（q*2+u-d（p））dG（u）
≥■F1（q*1+u-d（p））dG（u）
这暗示对任意可能的价格p，q*1（p）>q*2（p），证明完成。
接下来的定理表明，在普通随机序下，较大的和的随机需求将导致比较低的最优价格。
定理4 若δ1>stδ2，则p*1>p*2。
证明 在p=p1*处我们估计■，等式（2）在p*1处满足d′（p*1）［（p*1-e）+（e-s）］■F1（q*1+u-d（p））dG（u）+d（p*1）＝-?姿1，可得：■p=p1*＝d′（p*1）［（p*1-e）+（e-s）］■F2（q*2+u-d（p））dG（u）+d（p*1）+?姿2
d′（p*1）［（p*1-e）+（e-s）］■F1（q*1+u-d（p））dG（u）+d（p*1）+?姿2＝?姿2－?姿1≤0
这里不等式因δ1>stδ2暗示λ2<λ1。因此，可得结论p*1>p*2。证明完成。
下面定理暗示内部生产模型中，在凸序下较小的随机需求变化导致较高的随机期望利润。
定理5 若δ1>cvδ2，则对任意的q和p，π1（q，p）>π2（q，p）。因此，δ1>cvδ2，暗示π*1>π*2。
证明 因δ1>cvδ2暗示λ1=λ2和■F2（x）dx≥■F1（x）dx，可得：π1（q，p）－π2（q，p）＝（e-s）■［■F2（x）dx-■F1（x）dx］dG（u）≥0，证明完成。
（作者单位：西北师范大学知行学院）
主要参考文献：
［1］Burke，G.J.，Carrillo，J.E.，Vakharia，A.J.，Single versus multiple supplier sourcing strategies.European Journal of Operational Research.2007.182.1.
［2］Minghui Xu a，Ye Lub，European Journal of Operational Research.2013.227. |
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